Пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

Исходные данные:

Двутавр №16 (ГОСТ 8239-72)

Равнобокий уголок 80 x 80x 6 (ГОСТ 9509-72)

Прямоугольник 200 x 20

РЕШЕНИЕ

1)Расположим составное сечение (рис.6) в первой четверти координатной плоскости пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru (чтобы в дальнейшем не ошибиться со знаками вычисляемых геометрических характеристик).

2) Пронумеруем фигуры:

прямоугольник - (фигура 1), двутавр - (фигура 2), равнобокий уголок - (фигура 3).

Проведем для каждой фигуры собственные центральные оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru ( рис.6, рис.11).

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru Для прямоугольника и двутавра эти оси будут и главными осями, так как у каждой из этих фигур есть оси симметрии.

Для каждой фигуры найдем все необходимые геометрические характеристики и координаты центра тяжести относительно первоначальных осей пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru .

а) Прямоугольник (фигура1)

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru =200мм=20см,

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru =20мм=2см,

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru ,

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru , пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru (т.к. оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru являются главными центральными).

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru б) Двутавр № 16 (фигура 2)

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru (т.к. оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru являются главными центральными).

Замечание: при выборе пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru для двутавра и швеллера необходимо учитывать, что их табличное расположение может отличаться от рассматриваемого. В частности если имеем:

а) вертикальное расположение швеллера(двутавра), то:

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

б) горизонтальное расположение швеллера (двутавра),то:

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru в)Равнобокий уголок 80x80x6 (фигура 3)

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru (т.к. оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru являются главными центральными для равнобокого уголка).

Определим центробежный момент пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru . Для этого воспользуемся первым (или вторым) соотношением из (14). Знак угла пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru определяется направлением поворота от центральной оси к главной.

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru , если поворот от оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru к оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru происходит по часовой стрелке;

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru , если поворот от оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru к оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru происходит против часовой стрелки;

Подставляя в первое соотношение из (14), получим:

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

Таким образом, центробежный момент относительно центральных осей пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru равен пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru .

Замечание:знак центробежного момента относительно осей пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru (см.рис.10) определяется в зависимости от расположения уголка относительно этих осей.

Для уголка в нашем примере (см на рис.10а)), большая часть сечения (заштрихованная) расположена в 1-oй четверти где пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru и в 3-ей четверти, где пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru .

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru
Таким образом, по определению ( пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru ) для всего сечения центробежный момент пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru .

г) Определим координаты центров тяжести пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru , пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru у каждой фигуры относительно первоначальных осей пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru :

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

3) Вычислим координаты центра тяжести всей фигуры относительно первоначальных осей пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru , т.е. координаты пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru :

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

По координатам пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru находим точку пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru относительно пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru и через нее проводим центральные оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru , параллельно первоначальным осям (рис.11).

4) Вычислим моменты инерции каждой простой фигуры относительно первоначальных осей пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru по формулам параллельного переноса (10) и просуммируем моменты инерции согласно (11).Таким образом:

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

Таким образом, пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

Так, пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

Просуммируем, пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

5) Вычислим моменты инерции всего сечения относительно центральных осей пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru и пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru по формулам (12):

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

6) Определим положение главных центральных осей сечения пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru . Главная центральная ось сечения пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru расположена под углом пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru к центральной оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru согласно (13):

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru (17)

Таким образом, главные центральные оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru повернуты относительно центральных осей пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru на угол пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru (см. рис.11) против хода часовой стрелки (так как угол положителен).

7) Вычислить главные моменты инерции сложного сечения по (14):

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru (18)

Проверка арифметических вычислений в (17) и (18).

а) Из последнего соотношения (14):

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

б) Согласно соотношениям (16):

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru ,

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

Таким образом, имеет место равенство:

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

Итак, пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

8). Определим моменты инерции относительно центральных осей пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru , расположенных под углом пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru ( пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru ) к главным центральным осям пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru .

Согласно соотношениям (15):

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

9)Произведем проверку последних вычислений:

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

10)Вычислим радиусы инерции сечения относительно главных осей.

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru - откладываем на оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru от точки пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru - откладываем на оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru от точки пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

На этих осях строим эллипс инерции (рис.11)

Заключение

1) Положение главных центральных осей пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru , пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru показано на рис.11. Главные моменты инерции сечения равны пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

2) Положение эллипса инерции сечения говорит о том, что при изгибе балки в направлении оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru ее жесткость и прочность будут наибольшими, а при изгибе в направлении оси пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru - наименьшими.

Примечание

Данная задача может быть легко алгоритмизирована и записана в виде программы для ЭВМ. Этот пример был проcчитан с помощью пакета Mathematica 5 (см. Приложение 2

пример определения геометрических характеристик сложного поперечного сечения - student2.ru

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ

Наши рекомендации