Изучение динамики вращательного движения

Цель работы: проверить выполнение основного закона динамики вращательного движения, определить момент инерции маятника Обербека.

Оборудование: маятник Обербека, секундомер, грузы.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси – это движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями, центры которых лежат на линии, являющейся осью вращения. Параметрами вращательного движения тела являются: угловой путь j, то есть угол поворота тела вокруг оси; угловая скорость w = ; и угловое ускорение e = . Это аксиальные векторы, то есть векторы, направленные по оси вращения. Если вращать буравчик вместе с телом, то направление его поступательного движения вдоль оси совпадает с вектором угловой скорости.

Угловое ускорение тела ε, согласно основному закону динамики вращательного движения, прямо пропорционально моменту силы M, действующему на тело,и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси:

. (1)

Момент силы по определению – это вектор, равный векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор
силы: . Величину проекции вектора момента силы на ось вращения можно определить как произведение величины силы на ее плечо:

М = F d. (2)

Плечо силы d – это длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы. Направление вектора момента силы относительно оси также определяется правилом буравчика: это аксиальный вектор, направленный в сторону поступательного движения буравчика под воздействием сил, действующих на ручки.

Момент инерции по определению – это скалярная физическая величина, равная сумме произведений масс частиц тела m_i (или dm)на квадраты их расстояний r до оси вращения:

J = å m _i r _i², или . (3)

Физический смысл момента инерции можно установить по уравнению (1). Это мера инертности тела при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем меньше его угловое ускорение при действии того же момента сил. В этом смысле он является аналогом массы, являющейся мерой инертности тела при поступательном движении. Но момент инерции зависит не только от массы, но и от ее распределения. Чем дальше от оси вращения находятся части тела, тем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение, тем медленнее раскручивается или тормозит вращающееся тело.

Изучение закономерностей вращательного движения в работе производится с помощью маятника Обербека (рис.1). Он представляет собой крестовину, которая может вращаться вокруг оси. На спицах крестовины расположены цилиндры. На шкив маятника наматывается нить, на конце которой подвешен груз массы m. Вращение крестовины происходит под воздействием момента силы натяжения нити , где r – радиус шкива, являющийся плечом силы натяжения.

Для подтверждения основного закона динамики вращательного движения (1) следует независимо определить момент силы натяжения нити и угловое ускорение крестовины маятника и убедиться в том, что они пропорциональны друг другу. Коэффициент пропорциональности равен величине, обратной моменту инерции 1/J.

Силу натяжения нити определим из уравнения второго закона Ньютона для груза, движущегося под действием силы тяжести mg и силы натяжения нити:

m a = mg – T₂. (4)

Откуда T₂ = m(g – a). Тогда момент силы натяжения нити можно рассчитать по формуле M = m (g – a) r. В лабораторной установке ускорение падения груза много меньше ускорения свободного падения, a<<g. Поэтому момент силы, вращающий крестовину, можно определить достаточно точно по приближенной формуле

M = mgr. (5)

Угловое ускорение e крестовины связано с тангенциальным ускорением точек поверхности шкива радиусом соотношением a = e r. Такое же ускорение имеет груз. Для экспериментального определения ускорения груза применим уравнение кинематики равноускоренного движения . Тогда угловое ускорение крестовины можно определить по формуле

, (6)

где Н – высота падения груза; t – время падения; r – радиус шкива.

Основной закон динамики будет подтвержден, если на построенном графике зависимости углового ускорения крестовины от момента силы экспериментальные точки будут близко расположены относительно линии прямо пропорциональной зависимости.

На самом деле существует момент сил трения в подшипниках оси, и экспериментальная прямая будет смещена по оси абсцисс на величину момента сил трения. Однако угловой коэффициент теоретической и экспериментальной линий будет одинаков. Это позволяет определить среднее значение момента инерции крестовины графическим методом как отношение катетов прямоугольного треугольника, построенного на экспериментальной линии как на гипотенузе (рис. 2):

. (7)

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Убедиться, что крестовина сбалансирована и не вращается при ненатянутой нити. При необходимости сместить цилиндры на спицах и закрепить. Установить визир на некоторой высоте. Измерить высоту H падения груза по шкале как расстояние между визиром и лучом фотоэлемента. Измерить радиус выбранного шкива r. Измерить расстояние от оси до цилиндров l. Результаты записать в табл. 1.

Таблица 1 Таблица 2

Высота падения Н, см
Радиус шкива r, мм
Расстояние до цилиндров l, см

m, г	t, c	e, рад/с	M, Н∙м

2. Установить наименьший груз, определить его массу. Намотать нить на шкив, вращая крестовину, так чтобы дно груза оказалось на уровне визира. Включить установку в сеть 220 В.

Нажать кнопку Сеть (на задней панели), при этом будет включен электромагнитный тормоз. Нажать кнопку Пуск. Тормоз отпустит крестовину, начнется счет времени секундомером. В момент перекрытия грузом луча фотоэлемента счет прекратится, тормоз остановит вращение. Записать массу груза и время падения в табл. 2. Выключить секундомер кнопкой «Сеть» для отключения тормоза.

3. Вращая крестовину, снова поднять груз к визиру. Снова включить секундомер кнопкой Сеть. Повторить измерения времени падения груза не менее шести раз, увеличивая разновесами массу груза. Записать суммарную массу грузов и время падения в каждом опыте в табл.2.

Выключить установку.

4. Произвести расчеты в системе СИ. Определить по формулам (5) и (6) угловое ускорение крестовины e и момент силы натяжения нити М в каждом опыте. Результаты записать в табл. 2.

5. Построить график зависимости углового ускорения крестовины от момента силы натяжения. Размер графика не менее половины страницы, на осях координат указать равномерный масштаб. Провести около точек прямую линию так, чтобы отклонения точек от экспериментальной линии были минимальны.

6. Построить на экспериментальной линии как на гипотенузе прямоугольный треугольник (рис. 2). По координатам вершин А и В по формуле (7) рассчитать среднее значение момента инерции <J >.

7. Оценить случайную погрешность измерения графическим методом (рис. 2)

. (8)

8. Записать результат в виде J = < J > ± d J, Р = 0,90. Оценить разумность результата, сравнив его среднее значение по порядку величины с расчетным значением момента инерции четырех цилиндров
J_цил = 4 m_цил l ² . Сделать выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

2. Дайте определение момента силы. Чему равен момент силы, действующий на крестовину маятника?

3. Дайте определение момента инерции, каков его физический смысл? От чего зависит момент инерции?

4. Как изменится момент инерции, угловое ускорение крестовины, если цилиндры на спицах сместить ближе к оси?

5. От каких параметров зависит угол наклона экспериментальной линии на графике e ( M)?

6. Как изменится момент силы натяжения и угловое ускорение крестовины при увеличении массы груза в чашке?

Работа 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ

КРУТИЛЬНЫМ МАЯТНИКОМ

Цель работы: определить скорость пули с помощью крутильно-баллистического маятника, познакомиться с применением закона сохранения момента импульса.

Оборудование: крутильно-баллистический маятник с мишенью, пружинный пистолет, пуля, секундомер.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Одним из способов определения скорости пули является способ с применением крутильно-баллистического маятника. Это обусловлено тем, что после удара маятник поворачивается на угол, пропорциональный моменту импульса и скорости пули. Крутильно-баллистический маятник – это массивное по сравнению с пулей тело произвольной формы, подвешенное на упругих нитях.

Пусть горизонтально летящая пуля на расстоянии r от оси попадает в мишень маятника и застревает в ней (рис. 1). После удара маятник и пуля поворачиваются совместно, и это является признаком неупругого удара. Так как процесс удара является кратковременным, то за время удара маятник не успевает повернуться и силы упругости еще незакрученных нитей подвеса отсутствуют. Действуют только сравнительно большие внутренние силы удара. Значит, система тел пуля – маятник на время удара является замкнутой. Поэтому выполняется закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе тел сумма моментов импульсов тел постоянна или сумма моментов импульсов тел до взаимодействия тел равна сумме моментов импульсов тел после взаимодействия: .

Моментом импульса твердого тела относительно оси называется аксиальный вектор, то есть вектор, направленный по оси вращения, равный произведению момента инерции тела на вектор угловой скорости: . Моментом импульса материальной точки называют вектор, равный векторному произведению радиус-вектора точки r на вектор импульса . Момент импульса – это аксиальный вектор, направленный по оси вращения согласно правилу буравчика, как и вектор угловой скорости. Если вращать буравчик вместе с телом, то вектор угловой скорости совпадает по направлению с поступательным движением буравчика.

Пулю, размер которой много меньше расстояния от линии полета до оси вращения маятника r, можно считать материальной точкой. По закону сохранения момента импульса момент импульса пули до удара будет равен моменту импульса маятника с застрявшей пулей после удара. В проекции на ось вращения уравнение будет иметь вид

mV r = ( mr² + J) w₀. (1)

Если пренебречь добавкой момента инерции пули mr² к моменту инерции маятника, то уравнение закона сохранения момента импульса будет иметь более простой вид: mVr = Jw₀. Отсюда получим формулу для скорости пули

. (2)

Угловую скорость w₀ маятника и момент инерции J можно определить из уравненияколебаний. Если маятник вывести от положения равновесия и отпустить, то он под действием момента упругих сил подвеса будет поворачиваться к положению равновесия, но по инерции пройдет его и отклонится в противоположную сторону. Затем процесс повторится, возникнут вращательные колебания. Уравнение основного закона динамики вращательного движения имеет вид: произведение момента инерции маятника на угловое ускорение равно моменту упругих сил подвеса М = −ka:

. (3)

Решением дифференциального уравнения является функция, превращающая его в тождество. Это могут быть функции косинуса или
синуса

, (4)

где a₀– амплитуда колебаний, то есть наибольший угол отклонения маятника; Т₀ – период колебаний, то есть время одного колебания. Если подставить функцию (4) в уравнение (3), то оно обратится в тождество при условии, если период колебаний маятника будет равен

. (5)

Из этой формулы момент инерции определить пока невозможно, так как неизвестен коэффициент упругости подвеса k. Чтобы его исключить, наденем на штыри рамки два груза с массой m_гр на расстоянии l от оси. Момент инерции маятника изменяется на величину, 2m_гр l^2. Период колебаний маятника тоже изменится и станет равным

. (6)

Решая уравнения (6) и (5), исключив коэффициент k, получим формулу для момента инерции

. (7)

Получим формулу для расчета угловой скорости маятника. Угловая скорость, по определению, равна первой производной от угла поворота по времени. Дифференцируя уравнение (4), получим . Отсюда угловая скорость маятника сразу после удара, при t = 0, может быть рассчитана по формуле

. (8)

Крутильный маятник представляет собой рамку, подвешенную к кронштейну на стальных струнах. Выстрел пулей производится с помощью пружинного пистолета. Угол отклонения штанги маятника определяется по шкале по положению флажка на штанге. Период колебаний определяется с помощью секундомера, управляемого фотоэлементом.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Убедиться, что линия полета пули проходит через мишень, рамка может колебаться, не задевая фотоэлемент; в положении равновесия флажок рамки находится против нуля шкалы. При необходимости отрегулировать. Снять добавочные грузы.

2. Взвести пружинный пистолет с пулей. Произвести выстрел в мишень. Измерить угол первого отклонения маятника по шкале a₀. Измерить расстояние от оси до точки удара пули r. Опыт произвести не менее пяти раз. Результаты записать в табл. 1.

Таблица 1

r, см
α,0,рад						<α0> = , рад

3. Определить массу пули, массу грузов, измерить расстояние от оси до середины грузов l. Результаты записать в табл. 2.

Включить установку в сеть 220 В.

4. Измерить период колебаний маятника без грузов Т₀. Для этого нажать кнопку Сеть (на задней панели секундомера), отвести рамку маятника на небольшой угол к электромагниту, магнит притянет рамку. Нажать кнопку Пуск, магнит отпустит рамку. Начнется счет времени и числа колебаний. Чтобы измерить время десяти колебаний t, следует после совершения девятого колебания нажать кнопку Стоп секундомера. Период равен T₀=t/10. Результат записать в табл. 2.

5. Измерить период колебаний Т₁ рамки с грузами. Для этого надеть на рамку добавочные грузы. Нажать кнопку Сброс для обнуления индикаторов и включения магнита. Отвести рамку к магниту, нажать Пуск, измерить время десяти колебаний. Результат записать в табл. 2. Выключить установку.

Таблица 2

Масса пули m, г
Расстояние до груза l, см
Масса груза mгр , г
Период без грузов Т0, с
Период с грузами Т1, с
Момент инерции J ,кг м2
Угловая скорость <w0> 1 /с

6. Произвести расчеты в системе СИ. Определить момент инерции маятника по формуле (7). Определить среднее значения угла поворота <a₀>. Определить среднее значение амплитуды угловой скорости <w₀> по формуле (8) по среднему значению угла <α₀>. Определить среднее значение скорости <V> по формуле (2). Результаты записать в табл. 1 и 2.

7. Оценить случайную погрешность измерений скорости пули, полагая, что основной вклад вносит случайная погрешность измерения угла поворота, по формуле

, где . (9)

8. Записать результат работы в виде V = <V> ±d V, P = 0,9. Сделать выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение крутильного маятника. Выведите и объясните формулу для периода колебаний маятника.

2. Дайте определение момента импульса материальной точки, твердого тела. Как определить направление момента импульса тела?

3. Сформулируйте закон сохранения момента импульса. Почему его можно применить для процесса удара пули о мишень маятника?

4. Запишите закон сохранения момента импульса для удара пули о мишень маятника.

5. Сделайте вывод формулы для расчета амплитуды угловой скорости маятника.

6. Объясните метод определения момента инерции маятника с помощью добавочных грузов.

Работа 6