Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны три точки пространства М₁(х₁; у₁; z₁), М₂(х₂; у₂; z₂), M₃(x₃; y₃; z₃), не лежащие на одной прямой. Пусть М(х; у; z) – произвольная точка этой плоскости (х – х₀; у – у₀; z – z₀), (х₂ – х₁; у₂ – у₁; z₂ – z₁), (х₃ – х₁; у₃ – у₁; z₃ – z₁) компланарны. Поэтому их смешанное произведение равно нулю:

= 0.

Следовательно, искомое уравнение

= 0. (1.3)

Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть даны две плоскости

А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0,

А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Первая плоскость имеет нормальный вектор (А₁; В₁; С₁), вторая плоскость (А₂; В₂; С₂).

Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т. е. = l для некоторого числа l. Поэтому

– условие параллельности плоскости.

Условие совпадения плоскостей:

,

так как в этом случае умножая второе уравнение на l = , получим первое уравнение.

Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т. е. = 0 или

А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0.

Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

Угол между двумя плоскостями

Угол между двумя плоскостями

А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0,

А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0

– это угол между их нормальными векторами и , поэтому

cosj = = .

Прямая в пространстве

Векторно-параметрическое уравнение прямой

Определение 1.2. Направляющим вектором прямойназывается любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.

Рисунок 1.2

Составим уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀; у₀; z₀) и имеющей направляющий вектор = (рисунок 1.2). Отложим из точки М₀ вектор . Пусть М(х; у; z) – произвольная точка данной прямой, а – её радиус-вектор точки М₀. Тогда , , поэтому . Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой

В векторно-параметрическом уравнении прямой перейдёт к координатным соотношениям (х; у; z) = (х₀; у₀; z₀) + t. Отсюда получаем параметрические уравнения прямой

,

, (1.4)

.

Канонические уравнения прямой

Из уравнений (1.4) выразим t:

t = , t = , t = ,

откуда получаем канонические уравнения прямой

= = . (1.5)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂). В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор = (х₂ – х₁; у₂ – у₁; z₂ – z₁). Поскольку прямая проходит через точку М₁(х₁; у₁; z₁), то её канонические уравнения в соответствии с (1.5) запишутся в виде

. (1.6)

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые с направляющими векторами = и . Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому

сosj = = . (1.7)

Условие перпендикулярности прямых:

.

Условие параллельности прямых:

l,

т. е.

. (1.8)