Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

(6)

Здесь ‑ координаты точки M, лежащей на плоскости P, A, B и C ‑ координаты вектора, перпендикулярного плоскости P. Этот вектор называется нормальным к плоскости P (см. рис. 1).

Рис. 1. К выводу общего уравнения плоскости.

Уравнение (6) легко выводится из уравнения (5). Действительно, пусть точка лежит на плоскости P. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению

. (7)

Вычитая из уравнения (5) уравнение (7) и группируя слагаемые, получим уравнение (6). Рассмотрим теперь два вектора с координатами и соответственно. Из формулы (6) следует, что их скалярное произведение равно нулю. Следовательно, вектор перпендикулярен вектору . Начало и конец последнего вектора находятся соответственно в точках и , которые принадлежат плоскости P. Следовательно, вектор перпендикулярен плоскости P.

Расстояние от точки до плоскости P, общее уравнение которой , определяется по формуле

(8)

Доказательство этой формулы полностью аналогично доказательству формулы расстояния между точкой и прямой (см. рис. 2).

Рис. 2. К выводу формулы расстояния между плоскостью и прямой.

Действительно, расстояние d между прямой и плоскостью равно

где ‑ точка лежащая на плоскости. Отсюда, как и в лекции № 11, получается выше приведенная формула. Две плоскости параллельны, если параллельны их нормальные вектора. Отсюда получаем условие параллельности двух плоскостей

(9)

где

‑ коэффициенты общих уравнений плоскостей . Две плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные вектора, отсюда получаем условие перпендикулярности двух плоскостей, если известны их общие уравнения

(10)

Угол f между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами (см. рис. 3) и может, поэтому, быть вычислен по формуле

Рис. 3. Определение угла между плоскостями.

(11)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Рис. 4. Плоскость, проходящая через три точки .

‑ координаты заданной точки ,

‑ координаты заданной точки ,

‑ координаты заданной точки .

Действительно, пусть даны три точки . Пусть произвольная точка плоскости P. Тогда вектора

лежат в одной плоскости, следовательно, их смешанное произведение равно нулю, что и выражает равенство (12).

ЛЕКЦИЯ № 13. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Вопрос 13.1. Прямая в пространстве. Уравнение прямой в пространстве.

Общее уравнение прямой.

Прямая может рассматриваться как пересечение двух плоскостей (см. рис. 1). Пусть каждая плоскость задана общим уравнением, тогда прямая L задается общими

Рис. 1. К выводу уравнений прямой в пространстве.

уравнениями

(1)

где коэффициенты не пропорциональны коэффициентам . Последнее условие является условием непараллельности двух плоскостей. Вектора и - являются нормальными к плоскости и . Следовательно, эти вектора перпендикулярны и самой прямой L.