Сравнительный анализ прямолинейно-параллельного и плоскорадиального фильтрационных потоков идеального газа

Дифференциальные уравнения фильтрации газа

По линейному закону

Уравнение неразрывности потока сжимаемой жидкости в деформируемой пористой среде имеет вид:

. (7.1)

Уравнения движения в горизонтальном фильтрационном потоке записываются в виде:

,

,

. (7.2)

Введем функцию P следующим образом. Примем, что ее дифференциал равен:

,

тогда

- функция Л.С.Лейбензона. (7.3)

От дифференциала функции Л.С.Лейбензона, перейдем к частным производным:

;

;

. (7.4)

Запишем уравнения движения для массовых скоростей фильтрации с учетом соотношений (7.4):

;

;

.

Тогда уравнение неразрывности (7.1) можно записать в виде:

(7.6)

или

. (7.6’)

В случае установившейся фильтрации правая часть уравнений (7.6) обращается в 0, в результате чего можно записать:

(7.7)

или .

Следовательно, функция Л.С.Лейбензона удовлетворяет уравнению Лапласа.

Аналогия между фильтрацией жидкости и идеального газа

Введение функции Л.С.Лейбензона в дифференциальные уравнения теории фильтрации позволяет установить аналогию между установившейся фильтрацией сжимаемого флюида (газа) и установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости.

В наиболее простом случае можно считать K=const. При малых пластовых давлениях и небольших депрессиях можно также пренебречь зависимостью вязкости m от давления. Такое допущение справедливо для идеальных сред, в которых отсутствует внутреннее трение, обусловленное процессами внутреннего молекулярного обмена.

Тогда функцию Л.С.Лейбензона можно представить в виде:

,

при этом .

Сравним две записи закона Дарси в дифференциальной форме – для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости и для установившейся фильтрации газа.

Жидкость	Газ
где Q=const – объемный расход жидкости; f(S) – площадь поперечного сечения струи	где Qm=rQ=const – массовый расход газа

Данные уравнения однотипны, следовательно, все формулы, полученные для установившейся фильтрации жидкости, можно применять и для установившейся фильрации газа, используя аналогию следующих показателей:

Несжимаемая жидкость		Газ
объемный расход Q	-	массовый расход Qm
давление Р	-	функция Л.С.Лейбензона P
объемная скорость фильтрации V	-	массовая скорость фильтра-ции rV

Сравнительный анализ прямолинейно-параллельного и плоскорадиального фильтрационных потоков идеального газа

Исследованиями Б.Б.Лапука было установлено, что фильтрацию газа в реальных пластах можно рассматривать как изотермический процесс, для которого справедлив закон Бойля-Мариотта. При T=const

или

,

где m – масса газа.

Отсюда

- уравнение состояния идеального газа.

С учетом уравнения состояния идеального газа выражение функции Л.С.Лейбензона приобретает вид:

.

Характерис-тика	Прямолинейно-параллельный поток	Плоскорадиальный поток
Распределение давления	1. 2.	1. 2.
Градиент давле-ния	1. 2.	1. 2.
Скорость фильтрации	1. 2.	1. 2.
Дебит газа, при-веденнй к атмо-сферному дав-лению
Средневзвешен-ное пластовое давление

Анализируя соотншения, можно отметить следующее.

В прямолинейно-параллельном потоке:

а) давление по длине пласта изменяется по параболическому закону, зависимость Р²(x) - линейная;

б) объемный расход газа, приведенный к атмосферному давлению, постоянный по длине пласта;

в) скорость фильтрации и градиент давления возрастают при приближении к галерее. Физически возрастание скорости фильтрации вдоль газового потока происходит за счет расширения газа при снижении давления.

В плоскорадиальном потоке:

а) распределение давления подчинено логарифмическому и параболическому законам, поэтому в газовом потоке, в отличие от потока жидкости, имеет место резкое падение давления вблизи скважины и весьма малое – вдали от нее. Площадь и объем пласта с пониженным давлением вблизи скважины значительно меньше объема газового пласта в целом. Поэтому в газонасыщенном пласте давление повсюду считается одинаковым, приблизительно равным давлению на контуре питания;

б) градиент давления и скорость фильтрации вблизи забоя газовой скважины резко возрастают как за счет уменьшения r, так и за счет падения давления Р.

Индикаторная диаграмма при фильтрации газа строится в координатах и в установившемся плоскорадиальном потоке имеет прямолинейный характер.