Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть имеется полная группа несовместных событий , , …, с известными вероятностями , , …, . Событие A может наступить только при появлении одного из событий , причем известны условные вероятности , , …, . Найти вероятность события A по этим данным позволяет формула полной вероятности:

.

Пример. Предполагается произвести два выстрела в цель из орудия. Необходимо оценить вероятность события A: «разрушение цели», если вероятности попадания снаряда в цель:

- 0 снарядов ; - 1 снаряда ; - 2 снарядов ,

и вероятности разрушения цели при попадании в нее

- 0 снарядов ; - 1 снаряда ; - 2 снарядов .

Так как события составляют полную группу, то вероятность разрушения цели:

Пусть теперь событие A может, по-прежнему, наступить с одним из несовместных событий , , …, , образующих полную группу. Пусть в результате какого-то из испытаний событие A произошло. Возникает вопрос, как изменятся условные вероятности событий , , …, , т.е. в результате наступления события A?

Ответ на этот вопрос дает формула Байеса

,

где – полная вероятность события A.

Пример. По цели было произведено два выстрела, и цель была поражена. Используя данные предыдущего примера, требуется найти вероятности , , получения ровно 0, 1 и 2 попаданий.

Вероятность полного отсутствия попаданий:

.

Вероятности одного или двух попаданий:

; .

Видно, что вероятности событий после разрушения цели изменились, точнее, изменились их условные вероятности, хотя события по-прежнему составляют полную группу.

Формула Байеса широко применяется при решении проблем с недостаточной информацией: пусть имеется несколько несовместных предположений (гипотез), которые надо проверить с помощью опыта. Перед началом опыта далеко не всегда можно определить вероятности этих гипотез, которые называют доопытными или априорными вероятностями. Этими вероятностями приходится задаваться, исходя из какого-то опыта или просто по интуиции. Как только опыт проведен, появляется информация, с помощью которой можно произвести коррекцию априорных вероятностей.

Таким образом, основываясь на результатах опыта, заменяют априорные вероятности послеопытными (или апостериорными). Надо учитывать, что вероятности отдельных гипотез после опыта могут сильно измениться и даже уменьшиться настолько, что ими можно пренебречь, т.е. в нашем примере – отбросить гипотезу . После коррекции эксперимент можно продолжать (повторять опыт), продолжая уточнять вероятности гипотез. По мере уточнения производится обоснованное изменение различных решений практических задач, оперативных планов работы и т.п.

Случайные величины

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать различные заранее не известные значения.

Случайные величины можно разделить на два основных вида – дискретные и непрерывные.

Дискретной случайной величинойназывается такая величина, которая может принимать любое значение из конечного или бесконечного счетного множества значений, т.е. такого множества, элементы которого могут быть занумерованы в каком-нибудь порядке и выписаны в последовательности , , …, , …

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые неизвестные заранее значения из рассматриваемого участка или интервала.

Так число будущих министров среди ста выпускников института – дискретная случайная величина с возможными значениями 0, 1, 2, …, 100, а дальность полета пули при выстреле – непрерывная и заранее неизвестная величина от 0 до 1 км.

Для задания дискретной случайной величины необходимо перечислить все ее возможные значения и указать вероятности этих значений.

Законом распределения (или рядом распределения) дискретной случайной величины называется соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения может задаваться таблицей, формулой или графиком. При табличном задании первая строка таблицы содержит возможные значения, вторая – вероятности этих значений.

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

В любом законе распределения необходимо перечислять все возможные значения случайной величины, следовательно, события x₁, x₂, …, x_n образуют полную группу и

.

Пример. В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 1 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.

Возможные значения величины X: x₁ = 0; x₂ = 10 и x₃ = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p₁ = 0,89, вероятность выигрыша 1 у.е. (10 билетов) – p₂ = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p₃ = 0,01. Таким образом:

X
P	0,89	0,10	0,01

Легко проконтролировать: .

Ряд распределения можно задать графически, если по оси x откладывать значения X, а по оси y – значения P и соединять отрезками полученные точки.

Для целого ряда процессов получены аналитические формулы законов распределения. Приведем обзор наиболее распространенных.

Распределение Бернулли (или биномиальное)

Пусть в серии n независимых испытаний событие A может появиться или не появиться в каждом испытании. Вероятность появления A равна p, непоявления q = 1– p. Случайной величиной X объявим число появлений события A в этих n испытаниях. Значения величины X: 0, 1, 2, …, n; k – номер испытания: 0, 1, 2, …, n. Тогда закон Бернулли имеет вид:

.

Распределение Пуассона

Это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом количестве испытаний (массовые испытания), в каждом из которых вероятность события A очень мала (p  событие A наступит ровно k раз. Закон Бернулли здесь неудобен, используется формула:

, где .

Пример. Произведено 5000 патронов. Вероятность того, что какой-то патрон – бракованный . Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3 негодных патрона?

Здесь n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим , тогда искомая вероятность: .

Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.

При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле:

.

Пример. При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4; k = 3. Следовательно,