Закон диффузии тепловых нейтронов и длина диффузии

Тема 6.

ДИФФУЗИЯ И РАЗМНОЖАЮЩИЕ СВОЙСТВА ТЕПЛОВОГО РЕАКТОРА

В полученной ранее формуле для величины эффективного коэффициента размножения в тепловом реакторе

k_э = h e j q p_з p_т

есть сомножитель p_т, который так же логически напрямую связан с процессом диффузии тепловых нейтронов в реакторе, как величина p_з - с процессом замедления.

Вероятность избежания утечки тепловых нейтронов - это доля тепловых нейтронов, избежавших утечки из активной зоны в процессе диффузии, от общего числа генерируемых в активной зоне тепловых нейтронов поколения.

Диффузия тепловых нейтронов, как и замедление эпитепловых, - это процесс пространственного их перемещения в среде актив­ной зоны реактора. Единственной разницей этих процессов является то, что при замедлении кинетическая энергия нейтронов быстро снижается за счёт рассеяний на ядрах среды, а при диффузии величина кинетической энергии тепловых нейтронов слабо колеблется от рассеяния к рассеянию около среднего значения. В силу того, что сами ядра среды в своем тепловом движении обладают различными кинетическими энергиями, величи­ны которых колеблются около некоторого среднего значения, определяемо­го термодинамической температурой среды.

А раз так, то тепловым нейтронам в процессе диффузии так же свойст­венно испытывать утечку из объёма активной зоны, как и эпитепловым - в процессе замедления. Хотя - явно в меньшей степени: скорости движения тепловых нейтронов во много раз меньше скоростей замедляющихся нейтро­нов, а возможностей для взаимодействий с ядрами среды (в част­ности - для поглощений) у тепловых нейтронов существенно большие, чем у эпитепловых (у подавляющего большинства ядер микросечения поглощения тепловых нейтронов существенно большие, чем сечения поглощения нейтро­нов любых других энергий).

Как и у замедляющихся нейтронов, утечка из активной зоны тепловых нейтронов возможна не из любой точки ее объёма, а лишь из периферийно­го её слоя. Тепловые нейтроны, родившиеся в результате процесса замед­ления в пределах этого слоя, могут покинуть активную зону раньше, чем они будут поглощены, но рождённые в более глубоких слоях тепловые ней­троны - такой возможности лишены.

Аналогичные представления и сходство в рассуждениях о процессах за­медления и диффузии приводят к одинаковому выводу, касающемуся величи­ны вероятности избежания утечки тепловых нейтронов; поэтому нет нужды повторять рассуждения, уже приводимые в начале п.5.1 для p_з; по аналогии запишем сразу для величины p_т:

р_т = f (геометрии а.з., каких-то диффузионных свойств среды а.з.)

И если аналогичную зависимость для величины p_з в п.5. удалось рас­шифровать: p_з = f(B²; t_т), - то относительно зависимости величины p_т от параметра реактора B² мы пока можем говорить лишь предположительно, а что собой представляет характеристика диффузионных свойств среды активной зоны - пока неясно.

Но начнём всё-таки с неё. Интуиция подсказывает, что эта характе­ристика должна быть сходной по смыслу с возрастом тепловых нейтронов, то есть она должна отражать способность среды активной зоны давать оп­ределённое среднеквадратичное пространственное смещение тепловых нейт­ронов в процессе их диффузии в этой среде.

Закон диффузии тепловых нейтронов и длина диффузии

6.1.1. Нейтронный газ и его температура. Называть совокупность тепловых нейтронов в среде нейтронным газом имеются все формальные ос­нования. Действительно, тепловые нейтроны по их свойс­твам близки к идеальному газу:

- из-за электронейтральности нейтроны не взаимодействуют друг с другом; нейтронам принципиально чужды силы взаимодействия типа вандерваальсовых сил межмолекулярного сцепления в реальных газах, то есть сил электрической природы;

- нейтронный газ - пространственно очень разреженная совокупность частиц: плотность нейтронов в самых энергонапряжённых реакторах по по­рядку величины не превышает 10⁹ нейтр/см³, в то время как, скажем, мо­лекулярная концентрация воды в разреженном перегретом паре составляет никак не меньше 10¹⁹ молекул/см³.

Близость свойств нейтронного газа к свойствам идеального газа да­ёт возможность описывать движение больших совокупностей свободных теп­ловых нейтронов в среде с использованием зависимостей молекулярной те­ории идеальных газов.

Скажем, абсолютная температура идеального газа Т - параметр его состояния, связанный с наиболее вероятной энергией молекул этого газа зависимостью Е_нв = kТ, где k = 8.62 ^.10^-5 эВ/К - константа Больцмана. У тепловых нейтронов величина наиболее вероятной энергии

Е_нв = kT_н

тоже связана с величиной температуры нейтронов пропорциональной связью с тем же коэффициентом пропорциональности k, но это не означает, что температуры среды и нейтронов - одна величина, хотя по определению тепловые нейтроны и находятся в кинетическом равновесии с ядрами среды, в которой они движутся. Положение максимума спектра тепловых нейтронов, как говорилось в п.5.6, определяется не только температурой, но и соотношением поглощающих и замедляющих свойств среды. Если бы сре­да не поглощала тепловые нейтроны, положения максимумов больцмановско­го спектра молекул и максвелловского спектра тепловых нейтро­нов, движущихся в этой среде, в точности совпадали бы, а, зна­чит, совпадали бы и величины температур среды и нейтронов. Но идеаль­ных, не поглощающих нейтроны, сред в природе нет, поэтому в реальных сре­дах температура нейтронов Т_н всегда выше, чем температура Т среды, где движутся тепловые нейтроны, и различие этих температур тем больше, чем меньше величина коэффициента замедления среды (см. формулу (5.6.4)).

6.1.2. Закон диффузии тепловых нейтронов. Из близости свойств нейт­ронного и идеального газов следует, что описание интенсивности направ­ленного переноса тепловых нейтронов в среде должно подчиняться закону газовой диффузии Фика, который, как оговорено в соответствующем разде­ле кинетической теории, в полной мере справедлив только для идеальных газов.

Газовая диффузия - процесс направленного переноса молекул газа, движущей силой которого является разница молекулярных концентраций га­за в различных точках объёма среды. Перенос молекул направлен от зоны с большей концентрацией молекул к зоне с меньшей их концен­трацией, и при длительном протекании в замкнутом объёме он приводит к выравниванию концентраций по всему этому объёму. Так же обстоит дело и с тепловыми нейтронами, диффундирующими в среде. Разница в представле­ниях о газовой и нейтронной диффузии состоит только в том, что:

- при газовой диффузии молекулы сталкиваются и обмениваются кине­тическими энергиями между собой непосредственно, а обмен кинетическими энергиями между тепловыми нейтронами происходит не в непосредственных столкновениях, а опосредствованно, то есть через посредство ядер среды, которые рассеивают их в процессе диффузии;

- при газовой диффузии газовые молекулы не исчезают, а при диффу­зии тепловых нейтронов в реальных средах происходит непрерывное их поглощение.

Применительно к диффузии тепловых нейтронов закон Фика записывают так:

(6.1.1)

В этом выражении:

- вектор плотности тока диффузии тепловых нейтронов в точке среды с координатами(напомним: величина вектораопределяет интен­сивность направленного перемещения нейтронов через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению этого вектора, за единицу времени, а сам вектор указывает направление их переноса);

- оператор Гамильтона функции распределения плотности тепловых нейтронов по координатам, иначе называемый в теории поля гра­диентом функции n в точке с координатами . Градиент - тоже вектор, но его направление - направление возрастания плотности нейтронов - противоположно направлению вектора , поэтому в правой части (6.1.1) и сто­ит знак минус.

Скалярная величина градиента представляет собой сумму частных производ­ных функции плотности нейтронов по координатам:

| grad n( | = dn/dx + dn/dy + dn/dz,

так что в частном случае линейной диффузии, когда плотность нейт­ронов изменяется только вдоль одной координатной оси, величина гради­ента плотности нейтронов вырождается в обычную первую производную фун­кции плотности по этой координате.

D* - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии. Так как вектор плотности токаимеет скалярную размерность нейтр/см²с, а градиент плотности нейтронов - нейтр/см⁴, то размерность коэффициента диффузии D* - см²/с.

В теории реакторов в силу большего удобства закон Фика чаще запи­сывают не через градиент плотности тепловых нейтронов, а через гради­ент плотности их потока (grad Ф). Формально умножив и разделив правую часть (6.1.1) на одну и ту же величину - среднюю скорость движения те­пловых нейтронов (v), получим:

(6.1.2)

где коэффициент D = D*/v (6.1.3)

сохраняет смысл коэффициента диффузии, то есть плотности тока при единичной величине градиента плотности потока тепловых нейтронов.

В кинетической теории нейтронов доказано, что величина этого коэф­фициента D определяется рассеивающими свойствами среды с учётом анизо­тропии рассеяния тепловых нейтронов на её ядрах, то есть:

D = l_tr/3 = 1/3S_tr (6.1.4)

Таким образом, в развёрнутом виде закон диффузии тепловых нейтро­нов:

. (6.1.5)

6.1.3. Время диффузии тепловых нейтронов. Под временем диффузии t_д понимается среднее время от момента рождения теплового нейтрона до момента его поглощения.

Путь теплового нейтрона от точки рождения до точки поглощения

Точка рождения ТН

(точка, в которой замед-

ляющийся нейтрон

«пересёк» Е_с ) Точка поглощения

теплового нейтрона

Удаление теплового нейтрона от точки рождения в момент поглощения

Рис.6.1. Иллюстрация к понятиям пути, проходимого тепловым нейтро­ном во время

диффузии, и удаления его от точки рождения в момент поглощения.

В течение времени диффузии тепловой нейтрон в среде пробегает ломаный путь, равный среднему пробегу до поглощения в рассма­триваемой среде l_a = 1/S_a. А поскольку тепловой нейтрон проходит этот путь со средней скоростью v, время, за которое он его проходит:

t_д = l_a/v = 1/S_av (6.1.6)

Для получения представлений о порядке величины t_д в различных сре­дах подсчитаем её для для стандартных нейтронов (v = 2200 м/с).

В воде при нормальных условиях (S_a » 0.02 см^-1): t_д = 1/(2.2 ^.10^{5 .}0.02) » 2.3 ^.10^-4 c;

В графите (g = 1.6 г/см³, S_a » 3 ^. 10^-4см^-1): t_д = 1/(2.2 ^.10^{5 .} 3 ^.10^-4) » 0.015 c;

В топливной композиции UO₂ плотностью g = 10 г/см³ при обогащении x = 2% (S_a » 0.36 см^-1) t_д = 1/(2.2 ^.10^{5 .} 0.36) » 1.26 ^.10^-5 c.

Как видим, время диффузии тепловых нейтронов - величина, значите­льно большая времени замедления их до теплового уровня в тех же средах (см.п.5.7). Чем больше поглощающих материалов присутствует в активной зоне теплового реактора, тем меньше величина времени диффузии тепловых нейтронов, а, значит, - меньше среднее время жизни поколения нейтронов в реакторе.

6.1.4. Длина диффузии. Ранее вскользь отмечалось, что диффузионная характеристика среды активной зоны, определяющая величину вероятности избежания утечки тепловых нейтронов, должна быть связана со среднеквадратичным пространственным смещением тепловых нейтронов в процессе диффузии таким же образом, как возраст тепловых нейтронов связан со среднеквадратичной длиной замедления. К этому подталкивает поч­ти полная аналогия представлений о процессах замедления и диффузии.

По определению кинетической теории нейтронов:

Квадрат длины диффузии тепловых нейтронов в среде - шестая часть среднего квадрата удаления теплового нейтрона в момент его поглощения от точки его рождения в этой среде.

__

L² = (1/6) l_т² (6.1.7)

И поскольку полученное в кинетической теории значение среднего квадрата пространственного смещения теплового нейтрона при диффузии:

___

l_т² = 2/S_a S_tr,

то величины квадрата и самой длины диффузии будут равны:

L² = и L = (6.1.8)

Как видим, квадрат длины диффузии L² - такая же и по смыслу, и по размерности (см²) характеристика диффузионных свойств среды, какой яв­ляется возраст тепловых нейтронов t_т - характеристика замедляющих свойств среды. Длина диффузии среды L (и её квадрат) характеризует её способность давать опре­делённое среднеквадратичное пространственное смещение теплового нейт­рона от точки рождения до точки его поглощения.

Поэтому каждому конкретному веществу в нормальных условиях (при t = 20^оС или Т = 293К и нормальном атмосферном давлении) свойс­твенна своя, стандартная длина диффузии, например:

- у воды (Н₂О) L_o = 2.714 см;

- у графита (С) L_o = 51.2 см;

- у бериллия (Ве) L_o = 22.1 см;

- у оксида бериллия (ВеО) L_o = 30.0 см;

- у тяжёлой воды (D₂O) L_o = 171 см и т.д.

Стандартные длины диффузии большинства материалов, используемых в реакторостроении, приводятся в справочниках по ядерным константам.

6.1.5. Зависимости длины диффузии веществ от температуры и давле­ния. Так как величины макросечений поглощения и транспортного равны произведениям соответствующих микросечений на ядерную концентрацию:

S_a = s_a N и S_tr = s_tr N,

то выражение для квадрата длины диффузии однородного вещества мож­но представить в таком виде:

L² = (6.1.8a)

В правой части выражения (6.1.8а) влиянию температуры подвержены две величины - микросечения поглощения и ядерной концентрации N.

Величина микросечения поглощения ядер любого вещества с ростом температуры падает

s_a(T_н) = 0.886 s_ao ,

так как с ростом температуры вещества приблизительно пропорцио­нально величине температуры Т растёт и температура нейтронов Т_н.

Ядерная концентрация жидкого или газообразного вещества с ростом температуры падает, твёрдого вещества - практически не изменяется.

Температурное уменьшение s_a и N в соответствии с (6.1.8а) приво­дит к однозначному увеличению длины диффузии. Схематически это выглядит так:

T_н ­ ® s_a ¯ ® L­

t^o ­ ® T­ L­

g ¯ ® N¯ ® L­

Рис.6.2. Схема воздействия температуры на величину длины диффузии тепловых нейтронов в среде.

Длину диффузии вещества часто называют мерой прозрачности вещест­ва для тепловых нейтронов, подразумевая под этим, что чем выше величи­на L, тем больше направленное удаление теплового нейтрона от места его рождения до места поглощения, и тем большую толщину слоя этого вещест­ва могут проницать тепловые нейтроны до их поглощения.

В связи с этим существует еще одна практичная интерпретация поня­тия длины диффузии.

Если вообразить бесконечный плоский источник тепловых нейтронов равномерной интенсивности(чего в природе нет!), то, приложив вплотную к этому источнику некото­рый объём рассматриваемой среды (вещества), мы обнаружили бы, что пло­тность потока тепловых нейтронов с удалением от источника в этой среде падает по экспоненциальному закону (рис.6.3):

Ф(x) = Ф_о exp (- x/L)

Ф(х) L

Ф₀

L L

Ф(х₁₎

Ф(х₁)/е

0 х

х₁ х₁+L

Рис.6.3. Характер снижения плотности потока тепловых нейтронов от бесконечного плоского источника тепловых нейтронов в сре­де и интерпретация длины диффузии этой среды.

Поэтому, если измерить величину плотности потока тепловых нейтро­нов на произвольном отстоянии x₁ от источника и на отстоянии (x₁+L), то отношение измеренных величин плотностей потоков тепловых нейтронов будет равно:

Ф(x₁)/Ф(x₁+L) = exp(-x₁/L)/exp[-(x₁+L)/L] = e = 2.7182818...

Поэтому:

Длина диффузии в среде - это толщина слоя этой среды, в пределах которого величина плотности потока тепловых нейтронов от бесконечного плоского источника тепловых нейтронов снижается в е раз.

С ростом давления p плотность жидкого или газообразного вещест­ва g увеличивается, а вместе с нею увеличивается и ядерная концентрация вещества N, увеличение которой в соответствии с (6.1.8а) приводит к уменьшению длины диффузии.

Из (6.1.8а) несложно вывести общую зависимость квадрата длины диф­фузии в любом веществе от температуры и давления:

, (6.1.9)

где g_o - плотность жидкости или газа при нормальных условиях, а

g (p,t) - плотность при рассматриваемых давлении и температуре.