Исследование модели консольного шарнира

Для иллюстрации некоторых основных идей рассмотрим модель шарнира, содержащую одну степень свободы. Шарнир, связанный с упругой пружиной, можно рассматривать как простейшую модель стержня, закрепленного на одном конце (качественно он ведет себя как нижняя часть шарнирно опертого стержня).

Рисунок 1.35 - Статическое и динамическое поведение шарнирно опертого стержня с круговой пружиной

Рассмотрим невесомый недеформируемый стержень длиной , соединенный с упругой пружиной жесткости (см. рисунок). Пружина сопротивляется вращению стержня. Стержень несет точечную массу на конце и находится в постоянном гравитационном поле с ускорением , что означает, что консоль находится под действием силы величиной . Мы будем рассматривать как управляющий параметр нагружения и будем исследовать потерю устойчивости системы по мере того, как постепенно увеличивается от нулевого значения.

Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота от вертикали и проведем сначала статический анализ.

Энергия деформации, накопленная в пружине, есть

,

а расстояние, на которое опустилась масса т, вычисляется по формуле .

Общая потенциальная энергия системы дается равенством

Уравнение равновесия

.

имеет тривиальное решение для всех и решение, определяемое из уравнения

Имеются две траектории равновесия. Они обозначены на рисунке жирными линиями. Устойчивость равновесных состояний определяется выражением

.

Вдоль основной «тривиальной» траектории равновесия устойчивость имеет место при , меньшем , а неустойчивость – при , большем , где . Предположим, что вал вращается с некоторой угловой частотой , тогда выражение для силы будет иметь следующий вид .

Для устойчивого равновесного состояния имеем

и устойчивость имеет место при следующем критическом значении равном

.

Аналогичным образом находятся устойчивые траектории равновесия в состоянии, превышающим критическое. Общая потенциальная энергия имеет единственный минимум для заданного и два минимума, разделенных максимумом, для каждого . Это схематически показано на рисунке.

Динамику системы в рамках нелинейной теории легко найти качественно при помощи графиков общей потенциальной энергии системы. Если пренебречь демпфированием, то центр, соответствующий тривиальному состоянию для , будет трансформироваться в два центра, разделенных седлом, для . Если имеется некоторая положительная вязкость, то устойчивый фокус в тривиальном состоянии для будет переходить в два устойчивых фокуса, разделенных седлом, как показано на рисунке для .

Мы не будем исследовать эти нелинейные движения и вместо этого рассмотрим линейные колебания около состояния равновесия . Будем считать, что стержень невесом. Тогда кинетическая энергия системы сводится к кинетической энергии точечной массы и дается формулой

.

Сравнивая ее с общим выражением для кинетической энергии

имеем . Угловая частота малых колебаний тогда дается теорией линейного осциллятора в виде

Эта частота уменьшается до нуля, когда возрастает до . Мы видим, что имеются три различных пути для определения критической нагрузки :

(1) ветвление тривиальной траектории равновесия;

(2) исчезновение минимума потенциальной энергии;

(3) обращение в нуль частоты колебаний.

Эквивалентность (1) и (2) гарантируется основной теоремой теории упругой устойчивости. Эквивалентность (2) и (3) установлена для общих консервативных механических систем, в которых дополнительно учитывается малая вязкость.

В заключение рассмотрим влияние начальных геометрических несовершенств на изменение траектории статического равновесия системы. Предположим, что в силу небольшой технологической ошибки пружина находится в недеформированном состоянии не тогда, когда стержень вертикален, а когда он наклонен по отношению к вертикали на малый начальный угол . Общая потенциальная энергия системы с точностью до произвольной постоянной имеет теперь вид

,

поэтому для равновесия получим

,

что приводит к равенству

.

Видно, что траектория тривиального равновесия переходит в семейство равновесных кривых , соответствующих различным значениям и окружающих бифуркационные кривые идеальной системы, как показано на рисунке.