Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a

Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a. Длина каждого цилиндра l. Найти сопротивление среды между цилиндрами.

Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru Сопротивление среды между цилиндрами может быть рассчитано как непосредственно, так и с помощью закона Ома в дифференциальной форме.

Первый способ.

Рассчитаем сопротивление среды непосредственно. Выделим цилиндрический слой толщиной dr, как показано на рис. 2.9. Его сопротивление Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru , где Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru - площадь боковой поверхности цилиндра радиуса r. Тогда Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru . Выполняя интегрирование по r от a до b, получаем Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru .

Второй способ.

Пусть между цилиндрами поддерживается постоянная разность потенциалов U = j1 - j2. В проводящей среде при наличии поддерживаемой разности потенциалов между цилиндрами протекает ток плотности j, причем Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru . При этом сила тока есть величина постоянная и определяется потоком вектора плотности тока через боковую поверхность цилиндра S с произвольным радиусом основания а ≤ r ≤ b:

Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru .

Т.к. векторы Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru и Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru перпендикулярны рассматриваемой боковой поверхности цилиндра в каждой точке (рис. 2.10), то потоки через основания равны нулю, т.е. Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru . Учтем, что электрическая составляющая стационарного поля описывается законами электростатики, и воспользуемся теоремой Гаусса:

Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru ,

где t - заряд единицы длины цилиндров (заряд, протекающий через проводящую среду, пополняется за счет работы источника тока). Таким образом, напряженность электрического поля в среде Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru . Тогда

Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru .

С другой стороны,

Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru .

Следовательно, Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru и Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru . Отсюда, в соответствии с законом Ома, получаем Примеры решения задач. Пример. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением r заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса а и b > a - student2.ru .

Наши рекомендации