Зачет № 3. Перпендикулярность в пространстве

Вопросы

1. Определение угла между прямыми в пространстве (пересекающиеся, скрещивающиеся и перпендикулярные прямые).

2. Теорема об углах с сонаправленными сторонами (формулировка, доказательство).

3. Определение перпендикулярности прямой и плоскости (доказательство того, что прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость).

4. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (формулировка, доказательство).

5. Определение ортогонального проектирования (формулировка его свойств).

6. Определение перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость (определения высоты пирамиды, высоты призмы).

7. Определение наклонной к плоскости (определение ортогональной проекции наклонной).

8. Теорема о перпендикуляре и наклонной, проведенных к плоскости из одной и той же точки (формулировка, доказательство).

9. Теорема о трех перпендикулярах (формулировка, доказательство, обратная теорема).

10. Определение угла между наклонной и плоскостью (определение прямой, перпендикулярной плоскости).

11. Теорема об угле между наклонной и плоскостью (формулировка, доказательство).

12. Определение расстояния между плоскостью и не принадлежащей ей точкой, параллельными плоскостями.

13. Теорема о расстоянии между параллельными плоскостями (формулировка, доказательство).

14. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

15. Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым.

16. Понятие двугранного угла (определение, изображение, грань, ребро, линейный угол двугранного угла).

17. Свойство величины линейного угла двугранного угла.

18. Определение угла между пересекающимися плоскостями (перпендикулярные плоскости).

19. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

20. Доказательство того, что если две плоскости перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости.

21*. Понятие центрального проектирования (определение, примеры, центральная проекция точки, центральная проекция фигуры).

22*. Теорема о центральной проекции плоской фигуры, расположенной в плоскости, параллельной плоскости проектирования.

23*. История возникновения и развития учения о перспективе.

24*. Изображение плоских фигур в центральной проекции (изображение параллельных прямых).

25*. Изображение пространственных фигур в центральной проекции (примеры, изображение куба).

Задачи

1. Через данную на прямой точку проведите плоскость, перпендикулярную данной прямой.

2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проведите плоскость, перпендикулярную этой прямой.

3. Через данную в плоскости точку проведите прямую, перпендикулярную данной плоскости.

4. Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проведите прямую, перпендикулярную данной плоскости.

5. Докажите, что две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой.

6. Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

7. Докажите, что если плоскость и прямая перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны или прямая лежит в плоскости.

8. Даны две прямые a, b и плоскость . Прямая a параллельна плоскости , а прямая b ей перпендикулярна. Докажите, что данные прямые перпендикулярны.

9. Даны две скрещивающиеся прямые. Проведите прямую, пересекающую обе данные прямые и перпендикулярную им обеим.

10. Через данную точку проведите прямую, перпендикулярную двум скрещивающимся прямым.

11. Через данную прямую проведите плоскость, перпендикулярную данной плоскости.

12. Через прямую a, параллельную плоскости , проведите плоскость , пересекающую плоскость под данным углом .

13. Докажите, что из всех прямых, лежащих в одной грани двугранного угла и проходящих через данную точку, наибольший угол с другой гранью образует прямая, перпендикулярная ребру двугранного угла.

14. Докажите, что при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, внутренние накрест лежащие двугранные углы равны.

15. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от концов данного отрезка.

16. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от трех данных точек.

17. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.

18. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей.

19. Найдите геометрическое место точек, удаленных от данной плоскости на данное расстояние.

20. Найдите геометрическое место ортогональных проекций наклонных, проведенных из точки, не принадлежащей данной плоскости и образующих с этой плоскостью угол, равный данному.

21*. Изобразите в центральной проекции треугольник, плоскость которого находится между центром проектирования и плоскостью проектирования.

22*. Изобразите центральную проекцию правильной 4-угольной пирамиды на плоскость, параллельную ее основанию.

23*. Проведите сечение треугольной пирамиды через две точки, принадлежащие ее боковым граням, и точку, взятую внутри пирамиды.

24*. Через точку, принадлежащую основанию треугольной пирамиды, проведите сечение, параллельное двум непересекающимся ее ребрам.

25*. Проведите сечение через две точки, принадлежащие противоположным боковым граням 4-угольной пирамиды, и точку, принадлежащую ее основанию.

Зачет № 4. Многогранники

Вопросы

1. Понятие многогранного угла (определение, изображение, обозначение, вершина, ребра, грани, плоские и двугранные углы многогранного угла, типы многогранных углов).

2. Теорема о плоских углах трехгранного угла (формулировка, доказательство).

3. Понятие многогранника (определение, элементы многогранника, примеры).

4. Понятие призмы (определение, изображение, типы призм, количество вершин, ребер, граней, плоских углов, диагоналей, диагональных сечений).

5. Понятие прямой призмы (определение, свойства).

6. Понятие правильной призмы (определение, свойства).

7. Понятие параллелепипеда (определение, свойства).

8. Понятие пирамиды (определение, изображение, типы пирамид, количество вершин, ребер, граней, плоских углов, диагональных сечений).

9. Понятие правильной пирамиды (определение, свойства).

10. Понятие усеченной пирамиды (определение, изображение, количество вершин, ребер, граней, плоских углов, диагональных сечений, правильная усеченная пирамида).

11*. Понятие выпуклой фигуры (определение, примеры выпуклых и невыпуклых фигур).

12*. Теорема о сумме всех плоских углов выпуклого многогранного угла (формулировка и доказательство).

13*. Понятие выпуклого многогранника (определение, свойства).

14*. Теорема Эйлера (формулировка и доказательство).

15. Понятие правильного многогранника (определение, типы).

16. Исторические сведения о пяти телах Платона.

17*. Понятие полуправильного многогранника (определение, типы).

18*. Исторические сведения о телах Архимеда.

19*. Понятие звездчатого многогранника (правильные звездчатые многогранники – тела Кеплера-Пуансо).

20*. Кристаллы – природные многогранники (названия, примеры).

Задачи

1. Проведите сечение трехгранного угла, у которого все плоские углы прямые, таким образом, чтобы в сечении получился треугольник, равный данному.

2. Проведите сечение 4-гранного угла таким образом, чтобы в сечении получился параллелограмм.

3. Через вершину трехгранного угла проведите плоскость, которая образует с его гранями равные углы.

4. Через вершину трехгранного угла проведите плоскость, которая образует с его ребрами равные углы.

5. Докажите, что плоскости, каждая из которых проходит через боковое ребро треугольной пирамиды и через пересекающуюся с ним медиану противоположной грани, пересекаются по одной прямой.

6. Докажите, что 6 плоскостей, каждая из которых проходит через одно из ребер треугольной пирамиды и середину противоположного ребра, пересекаются в одной точке.

7. Докажите, что если диагональные плоскости 4-угольной призмы перпендикулярны ее основаниям, то призма прямая.

8. Докажите, что если диагонали параллелепипеда равны между собой, то параллелепипед прямоугольный.

9. Докажите, что сумма квадратов диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.

10. Докажите, что плоскость, проходящая через концы трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины, отсекает третью часть его диагонали, выходящей из той же вершины.

11. Докажите, что если через каждую вершину верхнего основания треугольной призмы и через противоположное ей ребро нижнего основания провести плоскость, то эти плоскости пересекутся в точке, принадлежащей прямой, проходящей через точки пересечения медиан оснований данной призмы.

12. Постройте куб по данной его диагонали.

13. Постройте правильный тетраэдр по его ребру.

14. Постройте октаэдр по его ребру.

15. Докажите, что правильный тетраэдр двойственен самому себе.

16. Постройте прямую четырехугольную призму по ее основанию и одной из диагоналей.

17. Постройте треугольную пирамиду по ее основанию, высоте и двум боковым ребрам.

18. Постройте треугольную пирамиду по ее основанию и двум углам, которые образуют боковые ребра с основанием.

19. Постройте треугольную пирамиду по ее основанию и трем боковым ребрам.

20. Постройте треугольную пирамиду по ее боковым ребрам и плоским углам при вершине.

21*. Докажите, что любой выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

22*. Докажите, что для невыпуклой призмы выполняется соотношение Эйлера.

23*. Докажите, что для невыпуклой пирамиды выполняется соотношение Эйлера.

24*. Найдите многогранник, который является пересечением тетраэдров, образующих звездчатый октаэдр. Найдите его ребра, если ребро куба, в который вписан звездчатый октаэдр, равно 1.

25*. Впишите в данный куб ромбододекаэдр.

Зачет № 5. Круглые тела

Вопросы

1. Понятия сферы и шара (определения, центр, радиус, касательная плоскость, большая окружность, большой круг, касательная прямая).

2. Различные случаи взаимного расположения сферы и плоскости.

3. Теорема об отрезках касательных прямых, проведенных к сфере из одной точки (формулировка, доказательство).

4. Теорема об ортогональной проекции сферы (формулировка, доказательство).

5. Понятие многогранника, вписанного в сферу (определение, примеры).

6. Теорема о сфере, описанной около треугольной пирамиды (формулировка, доказательство).

7. Теорема о сфере, описанной около призмы (формулировка, доказательство).

8. Понятие многогранника, описанного около сферы (определение, примеры).

9. Теорема о сфере, вписанной в треугольную пирамиду (формулировка, доказательство).

10. Теорема о сфере, вписанной в призму (формулировка, доказательство).

11. Понятие цилиндра (определение, элементы цилиндра).

12. Понятие конуса (определение, элементы конуса).

13. Понятие усеченного конуса (определение, элементы усеченного конуса).

14. Понятия поворота и фигуры вращения (определение, примеры).

15*. Теорема о вращении прямой, скрещивающейся с осью вращения (формулировка, доказательство).

16. Понятия сферы, вписанной и описанной около цилиндра (определения, примеры).

17. Теорема о сфере, вписанной в цилиндр (формулировка, доказательство).

18. Понятия цилиндра, вписанного и описанного около прямой призмы (определения, примеры, касательная плоскость к цилиндру).

19*. Фокальное свойство эллипса (формулировка, доказательство).

20. Понятия сферы, вписанной и описанной около конуса (определения, примеры).

21. Теорема о сфере, вписанной в конус (формулировка, доказательство).

22. Теорема о сфере, описанной около конуса (формулировка, доказательство).

23. Понятия конуса, вписанного и описанного около пирамиды (определения, примеры, касательная плоскость к конусу).

24*. Теорема о сечении конической поверхности, при котором получается эллипс (формулировка, доказательство).

25*. Теорема о сечении конической поверхности, при котором получается парабола (формулировка, доказательство).

26*. Теорема о сечении конической поверхности, при котором получается гипербола (формулировка, доказательство).

27. Понятие симметрии (определение, центральная, осевая и зеркальная симметрии).

28. Понятие о движении (определение, примеры движений).

29. Теоремы о движениях (формулировки, доказательства).

30*. Понятие ориентации поверхности (определение, примеры ориентируемых и неориентируемых поверхностей).

Задачи

1. Докажите, что сечением сферы плоскостью является окружность.

2. Докажите, что две большие окружности сферы, пересекаясь, делят друг друга пополам.

3. Докажите, что через две точки сферы, не принадлежащие одному диаметру, можно провести большую окружность и притом только одну.

4. Докажите, что плоскость, проходящая через конец радиуса сферы перпендикулярно ему, является касательной плоскостью.

5. Докажите, что касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

6. Докажите, что около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

7. Докажите, что около любой правильной призмы можно описать сферу.

8. Докажите, что в любую правильную пирамиду можно вписать сферу.

9. Докажите, что все плоскости, пересекающие данную сферу по окружностям данного радиуса, касаются сферы, концентрической данной.

10. Докажите, что цилиндрическая поверхность, ось которой проходит через центр сферы, пересекает ее по окружности.

11. Докажите, что коническая поверхность, ось которой проходит через центр сферы, пересекает ее по окружности.

12. Найдите геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой.

13. Найдите геометрическое место центров сфер данного радиуса, касающихся боковой поверхности данного цилиндра.

14. Найдите геометрическое место центров сфер данного радиуса, пересекающих данную плоскость по окружностям данного радиуса.

15. Докажите, что в цилиндр можно вписать сферу, если его осевым сечением является квадрат (равносторонний цилиндр).

16. Докажите, что если в усеченный конус можно вписать сферу, то его образующая равна сумме радиусов обоих оснований.

17. Найдите геометрическое место прямых, образующих данный угол с данной прямой и проходящих через данную на ней точку.

18. Найдите геометрическое место центров сфер, проходящих через вершины данного треугольника.

19. Найдите геометрическое место центров сфер данного радиуса, касающихся граней данного двугранного угла.

20. Найдите геометрическое место центров сфер данного радиуса, касающихся граней данного трехгранного угла.

21*. Найдите фигуру, которая получится при вращении правильной 4-угольной пирамиды вокруг прямой, соединяющей середины одной из сторон основания и скрещивающегося с ней бокового ребра.

22*. Прямоугольный лист бумаги свернули в боковую поверхность цилиндра с радиусом основания R и провели сечение, составляющее с плоскостью основания угол . Затем боковую поверхность цилиндра развернули обратно в прямоугольник. Найдите уравнение полученной кривой.

23. Докажите, что касательная плоскость к цилиндру перпендикулярна плоскости, проходящей через образующую касания и ось цилиндра.

24. Докажите, что две не параллельные плоскости, касающиеся цилиндра, пересекаются по прямой, параллельной оси цилиндра.

25. Докажите, что плоскость, касательная к конусу, перпендикулярна плоскости, проходящей через образующую касания и ось конуса.

26. Докажите, что прямая, касательная к окружности основания конуса, перпендикулярна образующей конуса, проходящей через точку касания.

27. Докажите, что если одна из боковых граней треугольной призмы, вписанной в цилиндр, проходит через его ось, то две другие ее боковые грани перпендикулярны.

28. Докажите, что две прямые, симметричные относительно некоторой плоскости, лежат в одной плоскости.

29. Докажите, что если фигура имеет ось симметрии n-го порядка, n = n₁ n₂, где n₁, n₂ – натуральные числа, то она имеет также оси симметрии порядка n₁ и n₂.

30. Найдите геометрическое место точек, симметричных данной точке относительно всех точек данной прямой.

31*. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60⁰. Под каким углом к плоскости основания конуса нужно провести плоскость, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?

32*. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 45⁰. Под каким углом к плоскости основания нужно провести плоскость, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?