Взаимное положение прямых. Параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые. Конкурирующие точки скрещивающихся прямых.

Как известно, прямые в пространстве могут быть пересека­ющимися, параллельными или скрещивающимися. Рассмот­рим эти случаи.

Пересекающиеся прямые.Наглядное изображение двух пря­мых AB и CD, пересе-кающихся в точке К,приведено на ри­сунке 2.10, их чертеж в системе V, Н – на рисунке 2.11.

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пе­ресекаются между собой, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи.

Рис.2.10 Рис.2.11

Для прямых, кроме профильных, в системе V, H справед­ливо и обратное утверждение:

если в системе V, H точки пересечения одноименных проекций прямых, кроме профильных, лежат на одной линии связи, то прямые пересекаются.

Если в системе V, H одна из рассматриваемых прямых про­фильная, то, чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли пря­мые, следует построить их профильные проекции.

Примеры чертежей пересекающихся и непересекающих­ся (скрещивающихся) прямых, из которых одна с проекци­ями а'b', ab, a"b"– профильная, показаны на рисунках 2.12 и 2.13.

На рисунке 2.12 все три проекции k', k, k" точки K прямой CD принадлежат и трем одноименным проекциям a'b', ab и a"b" прямой AB, т. е. прямые пересекаются.

На рисунке 2.13 профильная проекция l" точки L прямой CD не принадлежит профильной проекции a"b", следователь­но, прямые AB и CD не пересекаются.

Рис.2.12 Рис.2.13

На рисунке 2.14 показаны прямые, две проекции которых пересекаются в одной точке, а две другие проекции сливаются в одну линию. Это означает, что обе прямые принадлежат плос­кости P,перпендикулярной плоскости H (рис. 2.15).

Рис. 2.14 Рис. 2.15 Рис. 2.16

Чертеж прямого угла ABC со стороной ВС,параллельной плоскости H,приведен на рисунке 2.16. Горизонтальная про­екция ba стороны BA перпендикулярна горизонтальной проек­ции bc стороны ВС.

Эта особенность проецирования прямого угла упрощает реше­ние ряда задач. Например, пусть требуется начертить перпенди­куляр из точки с проекциями a', а к прямой с проекциями b'c', bc, параллельной плоскости V (рис. 2.17). Для этого из точки а' проводим перпендикуляр a'm' к b'c'. Построив проекцию m, проводим горизонтальную проекцию am перпендикуляра.

Это свойство будет широко использовано в дальнейшем.

Заметим, что проекция любого угла в зависимости от по­ложения его плоскости может представлять собой острый, пря­мой или тупой угол (или прямую линию, если плоскость угла перпендикулярна плоскости проекций). Если угол не прямой и одна сторона его параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость острый угол проецируется также в виде острого угла меньшей величины, тупой угол – в виде тупого угла большей величины.

Рис. 2.17 Рис. 2.18

Параллельные прямые.Если в пространстве прямые парал­лельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. Действительно (рис.2.18), проецирующие плоскости P и Q, проведенные через параллельные прямые AB и CD, параллель­ны между собой. С плоскостью проекций Н онипересекаются по параллельным прямым ab и cd – проекциям прямых AB и CD на плоскости H.Однако из параллельности проекций не всегда следует параллельность прямых.

В примере на рисунке 2.19 проекции a'b', e'f', ab, еf профильных прямых AB и EF между собой параллельны. Однако из взаимного положения их профильных проекций видно, что сами прямые не параллельны.

Для прямых общего положения эти условия параллельности следующие:

если одноименные проекции прямых общего положения парал­лельны в системе двух плоскостей проекций, то прямые парал­лельны (рис. 2.20).

Для прямых частного положения:

если одноименные проекции прямых параллельны одной из осей проекций, то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой па­раллельны прямые.

По рисунку 2.21 заключаем, что профильные прямые 5-6 и 7-8 параллельны, так как параллельны их профильные про­екции 5"6" и 7"8".

Рис. 2.19 Рис. 2.20 Рис.2.21

Скрещивающиеся прямые.Скрещи­вающиеся прямые не имеют общих то­чек. Наглядное изображение двух скрещивающихся прямых AB и CD общего положения дано на рисун­ке 2.22, их чертеж – на рисунке 2.23. С точкой пересечения одноименных проекций ab и cd (рис.2.22) совпада­ют проекции к и l двух точек К и L,принадлежащих различным прямым CD и AB.

Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся пря­мых не лежат на одной линии связи (рис. 2.23).

Рис.2.22 Рис.2.23

Интересен вопрос: какая из изображенных на чертеже пря­мых выше другой или ближе другой к наблюдателю? Это опре­деляют путем анализа положения определенных точек этих прямых.

На рисунке 2.22 видно, что при взгляде сверху по указан­ной стрелке точка L на прямой AB закрывает точку К (проек­ция точки К на плоскости H показана поэтому в скобках). Соответственно и на чертеже, приведенном на рисунке 2.23, видно, что фронтальная проекция l' выше фронтальной про­екции k', и при взгляде сверху по стрелке N при проецирова­нии на плоскость H точка L закрывает точку K (горизонтальная проекция k показана в скобках). На плоскости V совпадают фронтальные проекции 1' и 2' точек прямых AB и CD.При взгляде спереди по стрелке M видно, что точка 1 прямой AB находится ближе к наблюдателю, и при проецировании на плос­кость V точка 1 прямой AB закрывает точку 2 прямой CD (фрон­тальная проекция 2' точки 2показана в скобках).

Рассмотренные точки скрещивающихся прямых, проекции которых на одной из плоскостей совпадают, называют конкурирующими точками.