Пример решения СЛАУ матричным методом в Mathcad

Задание. Решите систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде

Указания:

1. Установите режим автоматических вычислений.

2. Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей.

3. Вычислите решение системы по формуле .

4. Проверьте правильность решения умножением матрицы си­стемы на вектор-столбец решения.

5. Найдите решение системы с помощью функции lsolve и срав­ните результаты вычислений.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение си­стемы, при­веден ниже.

Указание. В приведенном документе для сравнения найдено решение системы с использованием функции решения систем линейных алгебраических уравнений lsolve(A, b)

Решите матричное уравнение Ах= b (систему линейных алгебраи­ческих уравнений) из индивидуального задания к работе №3.

Лабораторная работа №6

Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений

Метод Гаусса применяется для решения системы линейных алгебраических уравнений (6.1).

(6.1)

В матричной форме эта система имеет вид Ах = b, где

(6.2).

Воспользуемся тем фактом, что решение системы не изменяется при выполнении следующих операций:

а) перестановка двух уравнений местами;

б) умножение одного из уравнений на число, которое не равно нулю;

в) вычитание одного уравнения, умноженного на некоторое число, из другого.

Если a11=0, поменяем местами первое уравнение с таким j-м уравнением, что аj1 0. Теперь коэффициент в первом уравнении при первом неизвестном, отличен от нуля. Обозначим его через и будем называть его ведущим элементом первого шага. Разделим первое уравнение на ведущий элемент. Потом отнимем его из k-го уравнения (k=2, 3, ..., п) полученной системы, сначала умножив на а'k1. После таких преобразований первый столбец коэффициентов уравнений будет состоять из единицы на первом месте и нулей на других местах..

Рассмотрим полученные уравнения с номерами 2, ..., п. Они образуют систему из (n-1) уравнений с (n-1) неизвестными. Выполним с этой системой те же операции, что и с предыдущей (второй шаг метода Гаусса).

Следующий шаг выполним для следующих (n-2) уравнений и так далее.

Если на каждом шаге удается выбрать ведущий элемент, то после ряда преобразований система уравнений приобретает треугольный вид:

………………………… .

(6.3)

Из последнего уравнения можно получить значение неизвестного . Другие можно найти, последовательно подставляя значения в уравнения , потом значения і в уравнение с номером и так далее.

Но лучше продолжить вычисления по следующей схеме (обратный ход методу Гаусса). Отнимем последнее уравнение системы (6.3), умноженное на , из k-го уравнения ( ). Потом аналогично исключим неизвестное из первых (n-2) уравнений

После ряда преобразований система (6.3) будет приведена к виду

Рассмотрим случай, когда на очередном шаге не удается выбрать ведущий элемент. Это произойдет в том случае, когда на следующем r-м шаге все коэффициенты при неизвестной в уравнениях r, r+1, ..., п окажутся равными нулю, что является следствием линейной зависимости строк исходной матрицы А. В этом случае можно условно считать ведущий элемент нулевым и продолжать приведение уравнений к треугольному виду. Полученные уравнения будут отличаться от уравнений тем, что в некоторых местах на диагонали будут стоять коэффициенты, которые равны нулю, а не единице. Отметим, что в этом случае уравнения (6.1) или не имеют решений, или имеют бесчисленное множество решений.

Метод Гаусса относят к классу точных (прямых) методов, но не всегда этот метод позволяет получить точное решение. На практике коэффициенты при неизвестных могут быть результатом эксперимента, поэтому являются приближенными числами. Действия над приближенными числами выполняются с округлением. В результате решение системы будет также приближенным.

Индивидуальное задание к лабораторной работе №6

Решите систему линейных алгебраи­ческих уравнений (из индивидуального задания к работе №3) методом Гаусса в среде Mathcad либо посредством программного продукта на языке программирования С..

ПРИЛОЖЕНИЕ

Основные сведения по работе в среде MATHCAD

Рассмотрим внешний вид программы и основные приемы управления.

Для запуска «Mathcad» нажмите кнопку "Пуск", откройте меню «Программы», затем меню «MathSoftApps” и выберите пункт «Mathcad 7». При этом откроется окно системы (рис. 1).

1

2

3

4

5

Рис.1. Окно программы «Mathcad»

1 – заголовок окна;

2 – главное меню программы;

3 – панели инструментов;

4 – рабочее поле, окно редактирования;

5 – строка статуса.

МЕНЮ MATHCAD

Большинство вычислений в Mathcad можно выполнить тремя способами:

• выбором операции в меню;

• с помощью кнопочных панелей инструментов;

• обращением к соответствующим функциям.

Основные операции, закрепленные за пунктами меню, дублируются соответствующими кнопками панелей инструментов. Например, для обращения к встроенной функции можно вставить функцию в рабочий документ, выбрав нужное имя из списка функций, можно ввести имя функции с клавиатуры или, для наиболее часто используемых функций, вставить имя функции щелчком по кнопке в панели инструментов. Таким образом, во всех трех случаях соблюдается один и тот же порядок действий:

• выбор операции производится щелчком мыши по пункту меню или по кнопке в панели инструментов, после чего, если нужно, пользова­тель получает доступ к ниспадающему меню или к дополнительной панели;

когда операция выбрана, пользователь вводит необходимую инфор­мацию в окне диалога или заполняет помеченные поля в поле ввода, которое открывается непосредственно в рабочем документе.

Как уже упоминалось выше, вторая строка рабочего окна Math­cad — строка меню (см. рис. 2).

Рис.2. Работы с главным меню

Рассмотрим содержание каждого пункта меню и опишем правила выполнения наиболее часто используемых операций.

Некоторые строки ниспадающих меню содержат знак , означаю­щий, что здесь доступны операции, список которых разворачивается, если приостановить курсор мыши на строке, помеченной значком . Полное описание меню можно найти во встроенном справочнике по работе с пакетом. Для того чтобы не повторять описания одних и тех же операций, в дальнейшем рядом с названиями некоторых пунктов меню изображены кнопки панели ин­струментов, дублирующие операции меню (если таковые присутствуют).

Рис. 3. Меню Файл

Меню File (Файл). Щелчком по слову File открывается меню операций с файлами (рис. 3). Пункты New (Новый),Open(Открыть),Close (Закрыть),Save (Со­хранить),Save As (Сохранить как) пред­назначены соответственно для выполнения операций открытия нового рабочего доку­мента, чтения с диска созданного ранее ра­бочего документа, закрытия текущего рабо­чего документа, сохранения рабочего доку­мента в файле на диске в текущей папке или сохранения в файле, имя и папка которого указываются при сохранении. Все эти операции выполняются стандартным для Win­dows способом: указанием имен и папок в окнах диалога.

Следующие два пункта содержат операции, доступные пользова­телям, компьютеры которых имеют выход в Internet:Collaboratory(Сотрудничество) — присоединение через сервер MathSoft к Collabo­ratory, бесплатному Internet-форуму, обслуживающему всемирное со­общество пользователей Mathcad,Internet Setup — установка связи с сервером MathSoft.

ПунктыPage Setup (Параметры страницы),Print Preview(Предварительный просмотр),Print (Печать) содержат соответ­ственно операции подготовки, просмотра и печати рабочих докумен­тов Mathcad.

Следом в открывающемся менюFile расположен список имен послед­них четырех документов Mathcad. Щелчком (левая кнопка мыши) по строке с именем можно вызвать на экран любой из этих документов. И последний пункт — Exit (Выход), как и у всех Windows-приложений, завершает сеанс ра­боты с Matcad.

Рис. 4. Меню Редатирование

Меню Edit (Редактирование). Это меню (рис. 4) содержит стандартные для Windows-приложений операции редактирования рабочего документа:Undo (Отменить последнюю операцию), Redo (Отменить последнюю операцию Undo),Cut (Вырезать), Copy (Копировать), Paste (Вставить), Paste Special (Специальная вставка), Delete (Удалить), Select All (Выделить все), Find (Найти), Replace (Заменить). Go to Page (Перейти к странице),Check Spelling (Проверка орфографии), Links(Связы­вание), Объект (Для MathConnex и OLE).

Рис. 5. Меню Просмотр

Меню View (Просмотр). Это меню (рис. 5) содержит операции настройки ок­на Mathcad. Если строка менюToolbar(Панель инструментов),Format Bar (Па­нель форматирования) илиMath Palette(Панель математических инструментов) по­мечена символом Ö, то на экране размеща­ется соответствующая панель инструментов. ПунктыRegions (Области),Zoom (Микро­скоп),Refresh (Перерисовывание) со­держат операции преобразования изображе­ния в рабочем документе.Animate (Ани­мация) иPlayback (Воспроизвести, Про­играть) - операции построения и запуска анимаций.

Меню Insert (Вставить). В этом меню (рис. 6) пунктGraph (График) откры­вает доступ к семи операциям построения различных типов графиков, которые собраны в дополнительное меню графиков.

После щелчка по строке дополнительного меню (см. рис. 7) в рабочем документе открывается поле построения:

• X-Y Plot. — графика функции одной переменной в декартовых координатах;

• Polar Plot — графика функции одной переменной в полярных координатах;

• Surface Plot — графика функции двух переменных в декарто­вых координатах — поверхности;

• Contour Plot — контурных линий (линий уровня функции двух переменных) в декартовых координатах;

• 3D Scatter Plot — изображения точек в трехмерном простран­стве, заданных декартовыми координатами;

• 3D Bar Chart 3b — трехмерной гистограммы;

• Vector Field Plot — векторного поля.

Рис. 6. Меню ВставкаРис. 7. Меню График;

Порядок действий при построении всех графиков одинаков. После щелчка мышью по строке меню в рабочем документе открывается поле построения графика с помеченными для ввода позициями, которые нужно заполнить для определения графика. Когда график определен (т.е. заполнены все помеченные позиции), для его построения нужно щелкнуть по строкеCalculate (Вычислить) в меню Math, нажать на клавиатуре клавишу <F9> или щелкнуть в панели Toolbar по кнопке. При автоматическом режиме вычислений график будет построен после щелчка мышью вне поля графика.

Mathcad предоставляет пользователю разнообразные средства фор­матирования графика — изменение толщины и цвета линии, вида осей координат, координатные сетки, текстовые комментарии и др. Для то­го чтобы изменить вид изображения, нужно щелкнуть дважды по полю графика и установить требуемые параметры в окнах настройки. На­учиться форматировать графики лучше всего экспериментально: по­стройте график, затем щелкните дважды по полю графика, определите параметр в окне настройки, щелкните по кнопке Применить и проана­лизируйте изменение на графике. Используйте кнопку контекстной подсказки Справка в окне настройки параметров. Правила ввода и форматирования графиков подробно описаны в соответствующих разделах встроенного справочника.

Щелчок поMatrix (Матрица) открывает в рабочем документе окно определения размерности матрицы (число строк, число столбцов). После тогокак размерность матрицы определена, в рабочем документе открывается поле ввода матрицы с помеченными позициями для ввода элементов.

Щелчок поFunction (Функция) открывает окно диалога списка встроенных функций Mathcad. При этом для того чтобы вставить функцию в рабочий документ, нужно выбрать в окне с помощью стрелок прокрутки нужную функцию из списка* функций, щелкнуть по кнопке Insert и ввести в помеченных позициях аргументы (аргумент) функции.

Рис. 8. Окно выбора единиц измерения

Щелчок поUnit (Единица) открывает окно списка определен­ных в Mathcad единиц измерения (рис. 8). В окне System (Система) следует ввести используемую систему единиц (SI, CGS, US или MKS), в окнеDimension (Размерность) — выбрать стрелками прокрутки соответствующую размерность, а в окнеUnit (Единица) — нужную единицу измерения. После щелчка по кнопке Insert соответствую­щее наименование будет вставлено в рабочий документ, а окно выбора единицы останется открытым; после щелчка по кнопке OK бу­дет вставлено наименование единицы измерения и окно закроется.

ПунктPicture (Рисунок) задает операцию вставки рисунка. Пункт Text Region (Область текста) используется для определения поля текстовых комментариев; щелчком по строке Math Region (Матема­тическая область) в текстовый комментарий вставляется поле ввода математических символов; щелчком по строкеPage Break (Разрыв страницы) в рабочий документ вставляется признак конца страницы.

ОперацииHiperlink, Reference, Component и Object предна­значены для создания достаточно сложных конструкций: Hiper­link содержит набор операций для создания гипертекстовых ссылок; Reference — операция создания перекрестных ссылок для документов, Mathcad; Component и Object — операции внедрения компонент и объектов из других приложений.

Рис. 9. Меню форматирования

Меню Format (Формат). Все операции этого меню (рис. 9) предназначены для опре­деления стиля и формы отображения выраже­ний, данных, результатов вычислений и графи­ков в рабочем документе — определения цветов фона и надписей, размера и типа шрифта, вы­равнивания текстов в рабочем документе, раз­деления рабочего документа на области и др. При установке Mathcad по умолчанию выбран некоторый нейтральный стиль оформления. Если пользователь хочет разнообразить оформле­ние, он может ознакомиться с возможностями меню Format в справочнике, руководстве пользователя или "экспери­ментально". Ниже рассматриваются только пункты Number (Число) иGraph (График), которые часто используются при решении математических задач.

Рис. 10. Окно настройки отображения чисел

Пункт Number (Число) содержит операции определения форматов вывода числовых данных и результатов. Щелчок по Number открывает диалоговое окно ввода параметров (рис. 10).

В полеRadix (Основание системы счисления* помечается выбран­ная система счисления (на рис. 10 — десятичная). В полеPrecision(Точность) можно установить число знаков в различных формах ото­бражения чисел в указанных справа границах; в полеImaginary (Мни­мая единица) можно выбрать символ для отображения мнимой единицы (i или j). В нижней части окна расположены поля, позволяющие опре­делить, применяются ли установки ко всему рабочему документу (Set as worksheet default) или только к текущей области ввода (Setfor current region only).

ПунктGraph (График) содержит операции форматирования гра­фиков. Здесь, в зависимости от позиции курсора в рабочем документе и от определений, введенных в рабочий документ, открываются два различных дополнительных меню (рис. 11).

Рис. 11. Дополнительные меню настройки графиков

Когда курсор установлен вне поля двумерного декартова графи­ка, открывается меню определения параметров графиковX-Y Plot, Polar Plot, 3D Plot — плоского декартова, полярного или трехмер­ного. Щелчок по соответствующей строке открывает окно настройки параметров изображения (см. описаниеGraph в менюInsert). Если же курсор установлен в открытом для ввода поле двумерного декар­това графика, то дополнительное меню содержит строкиX-Y Plot — форматирование графика,Trace (Трассировка, След) — определение координат точки на помеченной линии иZoom (Микроскоп) — увели­чение масштаба изображения помеченной области графика.

Рис. 12. Меню математики

Меню Math (Математика). Это меню (рис. 12.) содержит операции управления вычислениями.

После щелчка поCalculate (Вычислить) = вычисляются выражения, расположенные выше и левее курсора*.

После щелчка по Calculate Worksheet (Пересчитать рабочий документ) выполняются все вычисления и перерисовываются все графики, определенные в рабочем документе.Если строкаAutomatic Calculation (Вычислять автоматически) помечена символом Ö, то любое выражение вычи­сляется немедленно после окончания ввода, а график строится после щелчка вне поля графиков. Если же пометка отсутствует, то вычи­сления и построения производятся только после соответствующей ко­манды (щелчок поCalculate, например).Если строкаOptimization(Оптимизация) помечена символом Ö, то включен режим оптимизации вычислений. Режим оптимизации — это режим вычислений с включен­ным символьным процессором. В этом режиме сначала упрощаются все выражения, помещенные справа от знака присвоения :=, и только затем выражение обрабатывается числовым процессором. В против­ном случае числовой процессор обрабатывает выражение в исходном виде.

Щелчок по строке Options (Опции) открывает окно настройки ре­жима вычислений (рис. 13), в котором можно определить Tolerance (Допуск) — допустимую погрешность численных алгоритмов, Array Origin (Начало массива) — номер первого элемента массива, Preci­sion (Точность) - число значащих цифр при записи данных в файл, Column Width (Ширина столбца) — ширину столбца, используемую при записи данных в файл,Seed value for random numbers На­чальное число для инициализации датчика случайных чисел)— число, инициализирующее датчик случайных чисел,Unit System (Система единиц) — систему единиц,Dimensions (Размерности) — размер­ности физических единиц. Все подлежащие изменению параметры заносятся в соответствующие поля ввода в окнах диалога.

Рис. 13. Окна настройки параметров вычислений

Рис. 14. Меню символьных операций

Рис. 15. Меню режимов вычислений

Меню Symbolics (Символьные вычисления). Это меню (рис. 14) содержит операции символьной математики. ПунктEvaluate (Вычислять) содержит три операции (рис. 15): Symbolically (Символьно),Floating Point (С плавающей запятой),Com­plex (Комплексное).

После щелчка по одной из этих трех строк вычисляет­ся значение выделенного в ра­бочем документе выражения, причем вычисления произво­дятся соответственно символь­но, численно с плавающей за­пятой или с использованием арифметики комплексных чи­сел. Щелчком по строкеSimplify (Упростить) символьному процессору передается выражение, вы­деленное в рабочем документе, а преобразованное выражение отобра­жается в рабочем документе ниже или справа от исходного выражения (см. описание опцииEvaluation Style). Совершенно аналогично после щелчка поExpand (Развернуть) в выделенном выражении раскрыва­ются скобки, а после щелчка поFactor (Разложить на множители) выделенное выражение раскладывается на множители. В результате щелчка поCollect (Собрать) в выделенном выражении приводятся по­добные.

Рис. 16. Вычисление полиномиальных коэффициентов

Если выражение является многочленом относительно выделенного фрагмента, то после щелчка по строкеPolynomial Coefficients (Ко­эффициенты полинома) в рабочий документ выводится вектор-столбец коэффициентов многочлена, записанных в порядке возрастания степе­ней выделенного выражения. На рис. 16 представлен результат такой операции, когда в исходном выражении выделено а.

Каждая из следующих трех строк (рис. 14) — Variable (Пере­менная), Matrix (Матрица),Transform (Преобразование) — объеди­няет группу символьных операций: символьные вычисления относи­тельно выделенной переменной, символьные вычисления с выделенной матрицей и интегральные преобразования соответственно.

Рис. 17. Меню операций математического анализа

В пунктеVariable объединены операции математического анализа (рис. 17):

• решение уравнений (Solve);

• замена переменной;

• подстановка (Substitute);

• дифференцирование

(Differentiate);

• интегрирование (Integrate);

• разложение по формуле Тейлора(Expand to Series);

• разложение дроби на простейшие дроби (Convert to Partial Fraction).

Если в рабочем документе в некотором выражении выделена пере­менная, то после щелчка по соответствующей строке меню в рабочем документе отображается результат выполнения операции относитель­но выделенной переменной.

Рис. 18. Меню символьных операций с матрицами

В пункте Matrix(рис. 18) объединены символьные вычисления с матрицами:

• Transpose (Транспонирование);

• Invert (Обращение) — вычисление обратной матрицы;

• Determinant (Определитель) — вычисление определителя ква­дратной матрицы.

Операции этой группы выполняются только, если в рабочем доку­менте выделена матрица. Тогда после щелчка по строке меню в рабо­чем документе отображается результат выполнения соответствующей операции

Рис. 19. Меню интегральных операции

В пунктеTransform объединены символьные вычисления прямых и обратных интегральных преобразований (рис. 19) —Fourier и Inverse Fourier (преобразование Фурье),Laplace и Inverse Laplace(преобразование Лапласа),Z иInverse Z (Z-преобразование) — вычисление производящей функции.

Рис. 20. Параметры формата символьных результатов

Щелчком по строке менюEvaluation Style (Стиль выражения) от­крывается окно, в котором определяется формат вывода результатов символьных вычислений (рис. 20).

В полеShow evaluation steps (Показать результаты вычисле­ний) можно установить режим отображения результатов символьных вычислений в строке, расположенной непосредственно под исходные выражением(Vertically, inserting lines), прямо под исходным выра­жением (Vertically, without inserting lines) или справа от исходного выражения(Horizontally).

Меню Window (Окно). Это менв (рис. 21) позволяет устанавливать стиль расположения окон, содержащих различные рабочие документы Mathcad. Ок на можно расположить "каскадом", что бы они перекрывались, но при этом бы ли видны заголовки окон(Cascade), без перекрытия по горизонтали (Tile Horizontal) или по вертикали (Tile Vertical); можно также упорядочить ярлычки окон в панели задач (Arrange Icons). В нижней части меню расположен список всех окон, открытых в текущий момент. Щелчком по соответствующей строке можно вызвать на экран любое из окон.

Рис. 21. Меню Окно

Панели инструментов MATHCAD

В окне Mathcad обычно располагаются три кнопочные панели инстру­ментов (рис. 22).

Рис. 22. Панели инструментов

Верхняя — панельToolbar (Панель инструментов), большая часть кнопок которой стандартные для windows-приложений кнопки работы с файлами и текстом.

Средняя — панельFormat Bar (Панель форматирования), содер­жащая кнопки выбора шрифтов, размеров шрифтов, стиля (полужир­ный, наклонный, с подчеркиванием), а также кнопки форматирования текста на странице (выравнивание по левому краю, центрирование и выравнивание по правому краю);

Нижняя —Math Palette (Математическая палитра), каждая кноп­ка которой открывает дополнительную панель, содержащую кнопки операций с математическими объектами определенного класса.

Правила работы со всеми панелями одинаковы: щелчком по кнопке открываем вспомогательную панель, щелчком по кнопке выбираем в ней нужную операцию и заполняем в рабочем документе помеченные позиции для ввода данных, аргументов или параметров операции.

Панель Toolbar. Большинство кнопок этой панели дублируют меню File и Edit.

Панель Math Palette. Это панель математических инструментов (дословно "математическая палитра") — наиболее часто используемая панель, поскольку именно здесь расположены кнопки вычислительных операций и операций конструирования вычислительных процедур.

Панель математических инструментов содержит восемь кнопок, каждая из которых открывает дополнительную панель математиче­ских операций. Далее, в начале каждой главы, описаны дополнитель­ные панели математических операций, наиболее часто используемые при решении задач главы. Здесь же просто перечислены кнопки пане­ли математических операций и приведен вид каждой дополнительной панели.

Рис. 23. Панель калькулятора

Кнопка —Arithmetic Palette (Калькулятор) открывает па­нель простейших вычислений (рис.23).

Щелчком по кнопке этой панели в рабочий документ вставляем имя функции, символ, цифру или знак операции с помеченными для ввода позициями:

Рис. 24. Панель отношении

Кнопка -Evaluation and Boolean Palette (Панель равенств и отношений) откпывает панель, изображенную на рис. 24.

Щелчком по кнопкам этой панели в рабочий документ вставляются соответствующие знаки отношений:

Рис. 25. Панель графиков

Кнопка —Graph Palette (Панель графиков) открывает па­нель, изображенную на рис. 25.

Щелчком по кнопке этой панели в рабочий документ вставляем поле графика соответствующего типа.

Кнопка —Vector and Matrix Palette (Панель векторных и матричных операций) открывает панель, изображенную на рис. 26.

Рис.26. Панель матричных операций

Кнопка — Calculus Palette (Панель операций математическо­го анализа) открывает панель, изображенную на рис. 27.

Кнопка—Programming Palette (Панель программирования) открывает панель, представленную на рис. 28.

Рис. 27. Панель операций Рис. 28. Панель программирования математического анализа

Кнопка —Greek SymbolPalette (Панель греческих букв) открывает панель, изображенную на рис. 29.

Кнопка —Symbolic Keyword Palette (Ключевые слова сим­вольных вычислений) открывает панель, изображенную на рис. 30.

Рис. 29. Панель греческих букв Рис. 30. Панель ключевых слов

Видно, что кнопки панели дублируют соответствующие пункты ме­ню символьных операций. Щелчком по кнопке вставляем в рабочий документ ключевое слово с помеченными позици­ями для ввода данных.

Примеры решения задач элементарной математики в MATHCAD

Большинство вычислений в Mathcad можно выполнить тремя способами — выбором операции в меню, с помощью кнопочных панелей инструментов или обращением к соответствующим функциям.