Ряды в комплексной области.

Существование понятия предела последовательности (1.5) позволяет рассматривать ряды в комплексной области (как числовые, так и функциональные). Стандартно определяются частичные суммы, абсолютная и условная сходимость числовых рядов. При этом сходимость ряда предполагает сходимость двух рядов, один из которых состоит из действительных, а другой из мнимых частей членов ряда: Ряды в комплексной области. - student2.ru Например, ряд Ряды в комплексной области. - student2.ru сходится абсолютно, а ряд Ряды в комплексной области. - student2.ru − расходится (за счет мнимой части).

Если действительная и мнимая части ряда сходятся абсолютно, то абсолютно сходится и сам

ряд, т.к. Ряды в комплексной области. - student2.ru . Верно и обратное: из абсолютной сходимости комплексного ряда

следует абсолютная сходимость действительной и мнимой части: Ряды в комплексной области. - student2.ru

Аналогично функциональным рядам в действительной области определяются комплексные

функциональные ряды, область их поточечной и равномерной сходимости. Без изменения

формулируется и доказывается признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Сохраняются

все свойства равномерно сходящихся рядов.

При исследовании функциональных рядов особый интерес представляют собой степенные

ряды: Ряды в комплексной области. - student2.ru , или после замены Ряды в комплексной области. - student2.ru : Ряды в комплексной области. - student2.ru . Как и в случае действительной

переменной, верна теорема Абеля: если степенной ряд (последний) сходится в т. ζ0 ≠ 0, то он сходится, и притом абсолютно, для любого ζ , удовлетворяющего неравенству Ряды в комплексной области. - student2.ru

Таким образом, область сходимости D этого степенного ряда представляет собой круг радиуса R с центром в начале координат, где R − радиус сходимости − точная верхняя грань значений Ряды в комплексной области. - student2.ru (Откуда и появился этот термин). Исходный степенной ряд будет, в свою очередь, сходиться в круге радиуса R с центром в т. z0 . При этом, в любом замкнутом круге Ряды в комплексной области. - student2.ru степенной ряд сходится абсолютно и равномерно (последнее утверждение сразу следует из признака Вейерштрасса (см. курс “Ряды”)).

Пример. Найти круг сходимости и исследовать на сходимость в тт. z1 и z2 степенного ряда Ряды в комплексной области. - student2.ru Решение. Ряды в комплексной области. - student2.ru область сходимости − круг радиуса R = 2 с центром в т. z0 = 1 − 2i . Ряды в комплексной области. - student2.ru z1 лежит вне круга сходимости и ряд расходится. При Ряды в комплексной области. - student2.ru , т.е. точка лежит на границе круга сходимости. Подставив ее в исходный ряд, заключаем:

Ряды в комплексной области. - student2.ru − ряд сходится условно по признаку Лейбница.

Если во всех граничных точках ряд сходится абсолютно или расходится по необходимому признаку, то это можно установить сразу для всей границы. Для этого следует подставить в ряд

из модулей слагаемых значение R вместо выражения Ряды в комплексной области. - student2.ru и исследовать полученный ряд.

Пример. Рассмотрим ряд из последнего примера, изменив один сомножитель: Ряды в комплексной области. - student2.ru

Область сходимости ряда осталась прежней: Ряды в комплексной области. - student2.ru Подставим в ряд из модулей

полученный радиус сходимости:

Ряды в комплексной области. - student2.ru

Если обозначить сумму ряда Ряды в комплексной области. - student2.ru через f(z), т.е. f(z) = Ряды в комплексной области. - student2.ru (естественно, в

области сходимости), то этот ряд называют рядом Тейлора функции f(z) или разложением функции f(z) в ряд Тейлора. В частном случае, при z0 = 0, ряд называется рядом Маклорена функции f(z) .

1.7 Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера.

Рассмотрим степенной ряд Ряды в комплексной области. - student2.ru Если z − действительная переменная, то он представляет

собой разложение функции Ряды в комплексной области. - student2.ru в ряд Маклорена и, следовательно, удовлетворяет

характеристическому свойству показательной функции: Ряды в комплексной области. - student2.ru , т.е. Ряды в комплексной области. - student2.ru . Это и является основанием для определения экспоненциальной функции в комплексной области :

Определение 1. Ряды в комплексной области. - student2.ru .

Аналогично определяются функции Ряды в комплексной области. - student2.ru

Определение 2. Ряды в комплексной области. - student2.ru

Все три ряда сходятся абсолютно и равномерно в любой ограниченной замкнутой области комплексной плоскости.

Из трех полученных формул простой подстановкой выводится формула Эйлера:

Ряды в комплексной области. - student2.ru

Отсюда сразу получается показательная форма записи комплексных чисел:

Ряды в комплексной области. - student2.ru

Формула Эйлера устанавливает связь между обычной и гиперболической тригонометрией.

Рассмотрим, например, функцию Ряды в комплексной области. - student2.ru : Ряды в комплексной области. - student2.ru Аналогично получаются остальные соотношения. Итак:

Ряды в комплексной области. - student2.ru

Примеры. Представить указанные выражения в виде Ряды в комплексной области. - student2.ru

1. Ряды в комплексной области. - student2.ru

2. Ряды в комплексной области. - student2.ru (выражение в скобках представляет собой число i , записанное в показательной форме)

3. Ряды в комплексной области. - student2.ru

4. Найти линейно независимые решения линейного ДУ 2 – го порядка: Ряды в комплексной области. - student2.ru

Корни характеристического уравнения равны:

Ряды в комплексной области. - student2.ru

Так как мы ищем действительные решения уравнения, то в качестве фундаментальной системы решений можно взять функции Ряды в комплексной области. - student2.ru

Определим, в заключение, логарифмическую функцию комплексной переменной. Как и в действительной области, будем считать ее обратной к показательной. Для простоты рассмотрим только экспоненциальную функцию, т.е. решим уравнение Ряды в комплексной области. - student2.ru относительно w , которую и назовем логарифмической функцией. Для этого прологарифмируем уравнение, представив z в показательной форме:

Ряды в комплексной области. - student2.ru

Если вместо arg z написать Arg z (1.2), то получим бесконечнозначную функцию Ряды в комплексной области. - student2.ru

1.8 Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана.

Пусть w = f (z) – однозначная функция, определенная в области Ряды в комплексной области. - student2.ru .

Определение 1. Производнойот функции f (z) в точке Ряды в комплексной области. - student2.ru называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Ряды в комплексной области. - student2.ru

Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.

Очевидно, что выполняются все арифметические свойства производных.

Пример. Ряды в комплексной области. - student2.ru

С помощью формулы бинома Ньютона аналогично выводится, что Ряды в комплексной области. - student2.ru

Ряды для экспоненты, синуса и косинуса удовлетворяют всем условиям почленного дифференцирования. Непосредственной проверкой легко получить, что:

Ряды в комплексной области. - student2.ru

Замечание. Хотя определение производной ФКП формально полностью совпадает с определением для ФДП, но, по существу, является более сложным (см. замечание в п. 1.5).

Определение 2. Функция f (z) , непрерывно дифференцируемая во всех точках области G, называется аналитическойили регулярнойв этой области.

Теорема 1. Если функция f (z) дифференцируема во всех точках области G, то она является аналитической в этой области. (б/д)

Замечание. Фактически, эта теорема устанавливает эквивалентность регулярности и дифференцируемости ФКП на области.

Теорема 2. Функция, дифференцируемая в некоторой области, имеет бесконечно много производных в этой области. (б/д. Ниже ( в п.2.4 ) это утверждение будет доказано при определенных дополнительных допущениях)

Представим функцию в виде суммы действительной и мнимой частей: Ряды в комплексной области. - student2.ru Теорема 3. ( Условия Коши − Римана).Пусть функция f (z) дифференцируема в некоторой точке Ряды в комплексной области. - student2.ru . Тогда функции u (x,y) и v (x,y) имеют в этой точке частные производные, причем

Ряды в комплексной области. - student2.ru и Ряды в комплексной области. - student2.ru , называемые условиями Коши – Римана.

Доказательство. Так как значение производной не зависит от способа стремления величины

Ряды в комплексной области. - student2.ru к нулю, выберем следующий путь: Ряды в комплексной области. - student2.ru Получаем:

Ряды в комплексной области. - student2.ru

Аналогично, при Ряды в комплексной области. - student2.ru имеем: Ряды в комплексной области. - student2.ru , что и доказывает теорему.

Верно и обратное утверждение:

Теорема4. Если функции u (x,y) и v (x,y) имеют в некоторой точке непрерывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши – Римана, то сама функция f (z) – дифференцируема в этой точке. (б/д)

Теоремы 1 – 4 показывают принципиальное отличие ФКП от ФДП.

Теорема 3 позволяет вычислять производную функции по любой из следующих формул:

Ряды в комплексной области. - student2.ru

При этом можно считать х и у произвольными комплексными числами и вычислять производную по формулам: Ряды в комплексной области. - student2.ru

Примеры. Проверить функцию на регулярность. Если функция регулярна – вычислить ее производную.

1. Ряды в комплексной области. - student2.ru

функция регулярна; Ряды в комплексной области. - student2.ru

2. Ряды в комплексной области. - student2.ru функция не дифференцируема.

Замечание. Нетрудно видеть, что любая действительная функция комплексного аргумента – не дифференцируема.

1.9 Гармонические функции.

Напомним определение гармонических функций, данное в курсе «Теории поля» :

Определение. Функция u (x,y) называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа: Ряды в комплексной области. - student2.ru

Пусть на области G задана аналитическая функция Ряды в комплексной области. - student2.ru Эта функция удовлетворяет условиям Коши – Римана: Ряды в комплексной области. - student2.ru , Ряды в комплексной области. - student2.ru (п. 1.8). Так как аналитическая функция бесконечно дифференцируема, то и функции u и v так же бесконечно дифференцируемы. Продифференцируем первое условие по x , второе по y и сложим полученные равенства:

Ряды в комплексной области. - student2.ru т.е. действительная часть аналитической функции – гармоническая. Если условия продифференцировать по у , по х и вычесть, то легко убедиться в гармоничности мнимой части. Таким образом, доказана

Теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими:

Ряды в комплексной области. - student2.ru

Ясно, что две произвольные гармонические функции, вообще говоря, не будут действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции. Для этого они должны еще удовлетворять условиям Коши – Римана. Однако, по любой гармонической функции можно с точностью до константы определить вторую часть аналитической функции (т.е. саму аналитическую функцию).

Пример. Доказать, что Ряды в комплексной области. - student2.ru может быть действительной частью аналитической функции и определить эту функцию.

Решение. 1. Ряды в комплексной области. - student2.ru

2. Ряды в комплексной области. - student2.ru

Из 2-го условия К – Р: Ряды в комплексной области. - student2.ru

Ряды в комплексной области. - student2.ru

Вопросы для самопроверки.

1.Являются ли следующие множества точек областями?

Ряды в комплексной области. - student2.ru

2. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной форме.

Ряды в комплексной области. - student2.ru

3. Доказать тождество: Ряды в комплексной области. - student2.ru .

4. Является ли функция Ряды в комплексной области. - student2.ru аналитической?

Наши рекомендации