Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина в результате испытания может принимать значения на некотором интервале. Непрерывная случайная величина считается заданной, если известен вид ее функции распределения вероятностей или функции плотности вероятности.

Функцией распределения вероятностей случайной величины называют функцию одной переменной f такую, что f(x)=P(X<x).

Свойства функции распределения.

1. Для любого значения функции распределения заключены в промежутке .

2. ; .

3. является неубывающей функцией.

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал [x₁,x₂) вычисляют по формуле P(x₁≤X<x₂)=f(x₂)–f(x₁).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет конкретное значение a, равно нулю, то есть P(X=a)=0 для любого числа a.

Функцией плотности вероятности непрерывной случайной величины X называют функцию , удовлетворяющую следующим условиям:

1. определена при всех ;

2. во всей области определения;

3. .

Свойства функции плотности вероятности.

1. Функция распределения выражается через функцию плотности по формуле .

2. Функция плотности равна первой производной от функции распределения: .

3. Для функции плотности справедливо условие нормировки: .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называют число , при условии, что интеграл сходится.

Дисперсией непрерывной случайной величины X называют число

,

если интеграл правой части сходится. Для дисперсии непрерывной случайной величины X справедливо равенство: .

Непрерывную случайную величину X называют нормально распределенной с параметрами a и (a, – постоянные, ), если ее плотность распределения имеет вид , где a – математическое ожидание, – стандартное отклонение случайной величины : M(X)=a, =σ. Функция распределения случайной величины X с нормальным законом распределения, имеет вид: . Вероятность того, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону с параметрами a и σ, примет значение, принадлежащее интервалу (x₁,x₂), вычисляют по формуле: .

Пример 1. Случайная величина X задана плотностью вероятности . Найдите коэффициент c; вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (-1;1).

Решение. Коэффициент можно найти из условия нормировки: . В нашем случае:

В результате c=1/π.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (-1;1), вычисляют по формуле .

.

Ответ: 1/π; 0,5.

Пример 2. Предполагая, что pH крови человека подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием a=7,4 и стандартным отклонением σ=0,2, найдите вероятность того, что у произвольно выбранного человека уровень pH находится между 7,3 и 7,5.

Решение. Случайная величина X – уровень pH крови – имеет нормальное распределение. Искомая вероятность будет равна:

.

Ответ: 0,38292.

Упражнения.

7.5.22. Случайная величина X задана функцией распределения Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение от 0 до 2. Ответ: 0,5.

7.5.23. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдите плотность распределения вероятностей, постройте графики функции распределения и функции плотности.

Ответ:

7.5.24. Случайная величина X задана функцией плотности вероятности: Найдите M(X). Ответ: 2.

7.5.25. Задана функция плотности вероятности:

случайной величины X. Найдите: а) коэффициент c; б) вероятность того, что случайная величина X примет какое-либо значение, большее 1; в) математическое ожидание и дисперсию X Ответ: 0,5; 0,75; 4/3; 2/9.

7.5.26. Задана функция плотности вероятности случайной величины X: Найдите c и вероятность того, что –π/4≤ X ≤π/4. Ответ: 0,5; √3/2.

7.5.27. Пусть случайная величина X распределена нормально с параметрами a=30, σ=20. Найдите вероятность того, что X примет значение от 10 до 50. Ответ: 0,9544.

7.5.28. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a=0, σ=1. Найдите выражение для функции плотности вероятности φ и функции распределения f. Найдите вероятность события 1,25≤X≤2,55. Ответ: φ(x)= , f(x)=0,5+Ф(x), 0,0934.

7.5.29. Функция плотности вероятности нормального распределения имеет вид φ(x)=c . Найдите константу c, стандартное отклонение σ, функцию распределения f, вероятность события 2≤X≤5. Ответ: c= , σ=3, f(x)=0,5+ , 0,3413.

7.5.30. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчиняются нормальному закону с параметрами a=20 км, σ=100 м. Найдите вероятность того, что расстояние между этими пунктами: а) от 19 до 22 км; б) не менее 18 км; в) не более 21 км. Ответ: 1; 1; 1.

7.5.31. Вес груза одного вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и стандартным отклонением 2 т. Найдите вероятность того, что вес груза очередного вагона не превышает 70 т. Ответ: 0,9938.

7.5.32. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием, равным 10. Вероятность того, что она примет какое-нибудь значение из промежутка [10;20], равна 0,3. Найдите вероятность того, что она примет какое-либо значение, большее 13. Ответ: 0,41.

7.5.33. Размер диаметра детали, выпускаемой цехом, распределен по нормальному закону с параметрами a=8 см, σ²=0,49 см². Найдите вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) составит от 7 до 10 см; б) отличается от математического ожидания по абсолютной величине не более, чем на 1 см. Ответ: 0,92; 0,85.

7.5.34. Найдите вероятность того, что значение непрерывной нормально распределенной случайной величины окажется в интервале: а) (a–2σ, a+2σ), б) (a–3σ, a+3σ), где a – математическое ожидание, σ - стандартное отклонение этой величины. Ответ: 0,9545; 0,9973.

7.5.35. Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: a =164 см и σ=5,5 см. Найдите интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключен рост взрослой женщины. Ответ: (153 см; 175 см).

7.5.36. Длина куска обоев в рулоне – случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием 18 м и дисперсией 0,09 м².В каких границах с вероятностью 0,9545 заключена длина куска в случайно выбранном рулоне обоев? Ответ: (17,4 м; 18,6 м).

7.5.37. Известно, что вес некоторых плодов, выращиваемых в совхозе, подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием 175г и Определить вероятность того, что вес наудачу взятого плода будет: а) заключен в пределах от 125 до 250г; б) не менее 250г; в) не более 300г.

7.5.38. Случайная величина Х-время ожидания отправления груза – имеет равномерное распределение на отрезке [0;20]. Найти ее математическое ожидание, дисперсию, и вероятность того, что ?

7.5.39. Плотность распределения вероятности некоторой случайной величины дается соотношением

Найти функцию распределения.

10.5.40. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

Требуется найти: а) плотность распределения f(x); б) вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (1/2, 1); в) построить графики функций F(x) и f(x).

10.5.41. Длина стебля некоторого растения – нормально распределенная случайная величина со средним значением 75 см и средним квадратическим отклонением 20 см. Определить сколько процентов растений будут иметь длину стебля не менее 60 см?

10.5.42. Средняя глубина посева семян составляет 4см; отдельные отклонения от этого значения случайны, распределены нормально со средним квадратическим отклонением 0,6 см. Определить: 1) долю семян, глубина посева которых будет отклоняться от среднего значения не более, чем на 1см; 2) во сколько раз измениться эта величина, если среднее квадратическое отклонение увеличится в 1,5 раза?

Закон больших чисел.

Неравенство Маркова. Если - случайная величина, принимающая неотрицательные значения, и - математическое ожидание случайной величины , тогда для любого положительного числа имеют место неравенства:

P(X≥α)≤ , P(X≤α) ≥1– .

Неравенство Чебышева. Если имеется случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией , то для любого выполняется неравенство P(|X–M(X)|<ε)≥1– .

Терема Чебышева. Если дисперсии независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной , то для любого вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий по абсолютной величине не превосходит , удовлетворяет неравенству

.

Теорема Бернулли. Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью может наступить некоторое событие A, и - случайная величина, равная числу наступлений события A в этих испытаниях. Тогда для любого имеет место неравенство .

Пример 1. Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а стандартное отклонение – 200 л. Оцените вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя: а) неравенство Маркова, б) неравенство Чебышева.

Решение. Пусть случайная величина X – расход воды на ферме в день. Тогда по условию M(X)=1000, D(X)=200²=40000. а) Воспользуемся неравенством Маркова при α=2000: P(X≤2000) ≥1– =0,5. б) Учитывая, что M(X)=1000, перейдем от неравенства 0≤X≤2000 к неравенству –1000≤X–1000≤1000, то есть |X–1000|≤1000. Используем неравенство Чебышева при ε =1000: P(|X–1000|<1000)≥1– =0,96.

Ответ: не менее 0,5; не менее 0,96.

Пример 2. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оцените вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения ламп во всей партии не более чем на 5 часов по абсолютной величине, если известно, что стандартное отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7 часов.

Решение. Пусть X_i – продолжительность горения в часах лампы из i-го ящика. Используем теорему Чебышеву при n=200, ε=5, c=7:

=0,99.

Ответ: не менее 0,99.

Пример 3. Бензоколонка заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,3. Найдите границы, в которых с вероятностью, не менее 0,79, находится доля заправившихся в течение 2 часов легковых автомобилей, если за это время заправилось 100 автомобилей.

Решение. Обозначим долю заправившихся в течение 2 часов легковых автомобилейчерез w. Используем теорему Бернулли при n=100, p=0,3, 1–p=0,7: Р(|w–0,3|<ε)≥1– . По условию 1– равно 0,79. Тогда ε=0,1. Границы для доли w заправившихся в течение 2 часов легковых автомобилей находим из неравенства |w-0,3|<0,1, то есть 0,2<w<0,4.

Ответ: от 0,2 до 0,4.

Упражнения.

7.6.1. Число солнечных дней в году для данной местности является случайной величиной с математическим ожиданием, равным 75 дням. Оцените вероятность того, что в следующем году в данной местности окажется менее 150 солнечных дней. Ответ: не менее 0,5.

7.6.2. Количество воды, используемое предприятием в течение суток, в среднем равно . Оцените вероятность того, что в ближайшие сутки расход воды на этом предприятии: а) не превысит ; б) превысит . Ответ: не менее 0,43; не более 0,67.

7.6.3. Среднее значение скорости ветра у Земли в данной местности равно . Оцените вероятность того, что при одном наблюдении данной местности скорость ветра окажется меньше . Ответ: не менее 0,75.

7.6.4. Оцените вероятность того, что при 3600 независимых бросаниях кости число появлений 6 очков будет не меньше 900 раз. Ответ: не более 0,67.

7.6.5. Среднее количество вызовов диспетчерского предприятия в течение одного часа равно 21. Оцените вероятность того, что в течение одного часа в диспетчерскую поступит: а) не менее шестидесяти; б) менее тридцати пяти вызовов. Ответ: не более 0,35; не менее 0,4.

7.6.6. Среднее изменение курса акций компании в течение одних биржевых торгов составляет 0,3%. Оцените вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более, чем на 3%. Ответ: не более 0,1%.

7.6.7. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оцените вероятность того, что сегодня в ОБ будет обслужено: а) не более 200 клиентов, б) более 150 клиентов. Ответ: не менее 0,5; не более 2/3.

7.6.8. Сумма всех вкладов в отделение банка составляет 2 млн. руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 тыс. руб., равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков? Ответ: не более 500.

7.6.9. Средняя температура в квартире в период отопительного сезона равна а стандартное отклонение равно . Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что температура в квартире отклонится от средней по абсолютной величине меньше, чем на . Ответ: не менее 0,75.

7.6.10. Ежедневный расход цемента на стройке – случайная величина, математическое ожидание которой равно 10 т, а стандартное отклонение – 2 т. Оцените вероятность того, что в ближайший день расход цемента на стройке отклонится от математического ожидания по абсолютной величине не более, чем на 3 т. Ответ: не менее 0,56.

7.6.11. Электростанция обслуживает сеть на 1600 электроламп, вероятность включения каждой из которой вечером равна 0,9. Оцените с помощью неравенства Чебышева, что число ламп, включенных в сеть вечером, отклоняется от своего математического ожидания не более чем на 100 по абсолютной величине. Ответ: не менее 0,99.

7.6.12. Вероятность наступления события в каждом из тысячи независимых опытов равна 0,8. Найдите вероятность того, что число наступлений события в этих тысячи опытах отклонится от своего математического ожидания по абсолютной величине не более, чем на пятьдесят. Ответ: не менее 0,936.

7.6.13. Вероятность того, что пара обуви, поступившей в магазин, будет продана в течение недели, равна 0,8. Оцените вероятность того, что из 400 пар обуви в течение недели будет продано от 300 до 340 пар обуви. Ответ: не менее 0,84.

7.6.14. Вероятность того, что в библиотеке имеется необходимая читателю книга, равна 0,7. Оцените вероятность того, что из 500 читателей, число нашедших нужную книгу в библиотеке от 325 до 375. Ответ: не менее 0,832.

7.6.15. Пусть для каждого посеянного семени вероятность его всхожести равна 0,8. Оцените вероятность того, что из 4000 посеянных семян взойдут от 3160 до 3240. Ответ: не менее 0,6.

7.6.16. Вероятность того, что акции переданные на депозит, будут востребованы равна 0,08. Оцените вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции. Ответ: не менее 0, 264.

7.6.17. Продолжительность горения электролампочки является случайной величиной, дисперсия которой не превышает 100. Оцените, используя теорему Чебышева, наибольшее отклонение средней продолжительности горения 5000 электролампочек от среднего их математических ожиданий, если результаты необходимо гарантировать с вероятностью, не меньшей 0,9. Ответ: не менее 0,44.

7.6.18. Дисперсия отдельного результата измерения величины не превосходит двух. Укажите необходимое число измерений, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было ожидать, что среднее арифметическое результата измерений отклонится от ее истинного результата по абсолютной величине не более чем на 0,01. Ответ: не менее 400 000.

7.6.19. Определите сколько нужно произвести замеров диаметра деревьев, чтобы средний диаметр отличался от истинного значения не более чем на 2 см с вероятностью, не меньшей 0,95. Известно, что на данном участке стандартное отклонение диаметров деревьев не превышает 10 см. Ответ: не менее 0,75.

7.6.20. Для определения урожайности поля площадью 200 га взяли выборку с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 2. Оцените вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности от средней урожайности не превосходит 0,2 ц. Ответ: не менее 0,75.

7.6.21. Сколько нужно произвести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения не более, чем на 1 по абсолютной величине, если стандартное отклонение каждого измерения не превосходит 5. Ответ: не менее 500.

7.6.22. Используя теорему Бернулли, оцените вероятность того, что частота появления герба при 200 бросаниях монеты отклонится от вероятности не более чем на 0,1. Ответ: 0,875.

7.6.23. Оцените вероятность того, что частота появления шестерки в 10 000 независимых бросаниях игральной кости отклонится по абсолютной величине от вероятности появления шестерки меньше чем на 0,01. Ответ: не менее 0,86.

7.6.24. Вероятность того, что изготовленная деталь стандартна, равна 0,8. Оцените наименьшее число деталей, которое нужно взять для контроля, чтобы с вероятностью не менее 0,85 доля стандартных среди них отличалась от вероятности 0,8 не более чем на 0,01. Ответ: 10 667.

7.6.25. В среднем 90% изготовленных деталей стандартны. Найдите число изделий, которое следует изготовить, чтобы с вероятностью не меньшей 0,75 можно было утверждать, что отклонение доли стандартных деталей от вероятности того, что деталь стандартна, не превзойдет по абсолютной величине 0,02. Ответ: не менее 900.

7.6.26. Вероятность того, что купленный телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,8. Оцените вероятность того, что из 600 проданных телевизоров доля таких, которые не потребуют гарантийного ремонта будет от 0,78 до 0,82. Ответ: не менее 1/3.

7.6.27. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7. Оцените вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74. Ответ: не менее 0,93.

7.6.28. В среднем 10% работающего населения некоторого региона – безработные. Оцените вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9% до 11%. Ответ: не менее 0,91.