Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Урав-ие представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока в комплексной форме

(3,9)

где Z – комплексное сопротивление, Ом.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX,

Уравнение 3.9 можно записать иначе. Разделим обе его части на и перейдём от комплексных амплитуд и к комплексам действующих значений и

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы равна нулю:

Подставив вместо выражение и вынеся за скобку, получим . Таким образом,

- первый закон Кирхгофа в комплексной форме.

Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа и представить в комплексной форме:

Пассивные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока

Резистивный элемент

В электрической цепи с резистивным элементом R ток изменяется по синусоидальному закону с начальной фазой ,то есть

Напряжение на зажимах резистора

где - амплитудное значение напряжения на зажимах резистора, - начальные фазы напряжения и тока. Кривые изменения напряжения и тока i (рис. 3.6б) в один и тот же момент времени t достигают максимального значения и одновременно проходят нулевые значения. Иначе говоря, обе кривые совпадают по фазе (рис. 3.6в).

Векторы и совпадают по направлению (угол φ=0). Переходя к действующим значениям можно записать

Сопротивление переменному току будет больше, чем постоянному за счет неравномерного распределения тока в проводе и потерь энергии в окружающую среду. Поэтому в отличие от сопротивления постоянному току сопротивление R в цепи переменного тока называется активным.

Индуктивный элемент

Изменение тока в цепи с индуктивностью L (рис. 3.7а) вызывает возникновение Э.Д.С. самоиндукции , которая по закону Ленца противодействует изменению тока. При увеличении тока Э.Д.С. действует навстречу току, а при уменьшении - в направлении тока, противодействуя его изменению. Показанные на рис. 3.7а положительные направления и имеют место только в течение некоторого узкого промежутка времени. Для тока, изменяющегося по гармоническому закону и при L= constЭ.Д.С. самоиндукции

Чтобы в цепи протекал ток, требуется иметь на зажимах напряжение, уравновешивающее Э.Д.С. самоиндукции, равное ей по значению и противоположное по знаку.

где - амплитуда напряжения.

Произведение обозначается ,называется индуктивным сопротивлением и измеряется в Омах:

Из выражения 3.18 следует, что на участке цепи с индуктивностью L напряжение опережает ток на четверть периода. На рис. 3.7в вектор напряжения опережает вектор тока i на 90⁰, а комплекс (вектор) Э.Д.С. самоиндукции находится в противофазе с комплексом напряжения

индуктивное сопротивление пропорционально Если R =0, то средняя активная мощность равна 0

Емкостной элемент

В цепи с конденсатором (рис. 3.9а), включенным на напряжение переменного тока, происходит непрерывное перемещение электрических зарядов.

Мгновенный ток в цепи равен скорости изменения заряда конденсатора:

где q – заряд конденсатора, Кл;

С – ёмкость конденсатора, Ф.

Если напряжение на зажимах конденсатора изменяется по синусоидальному закону:

то ток в цепи

где - амплитуда тока.

Величина, измеряемая в единицах сопротивления и обозначаемая , называется ёмкостным сопротивлением цепи:

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте приложенного напряжения. Tок через конденсатор опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 90⁰.