Направление выпуклости ГФ.Точки перегиба

Если в некотором интервале кривая расположена ниже любой своей касательной,то она называется выпуклой вверх на этом интервале

Если кривая расположена выше любой своей касательной,то она называется выпуклой вниз на этом интервале.

Точка прегиба-точка на кривой,где меняется направление ее выпуклости. Направление выпуклости кривой у=f (X) определяется знаком у '':

1.у ''>0- то ф-ция выпукла вниз.

2.у ''<0- то ф-ция выпукла вверх.

Правило нахождения абсцисс точек перегиба:

1. Найти у '' и точки,где у ''=0 или не сущ-ет,а кривая непрерывна и эти точки должны лежать внутри ООФ.

2.Определить знак у '' слева и справа от каждой из этих точек.Если по разные стороны Хо у '' имеет разные знаки,то Хо-точка перегиба.

Вопрос 33.

Асимптоты ГФ.

Асимптота кривой-такая кривая k,где неограниченно приближается точка кривой при удалении её от начала координат.

Для нахождения асимптот используют правило:

1.Если при х=а кривая у=f (x) имеет бесконечный разрыв (т.е.при и ), то кривая х=а явл. вертик.асимптотой

2.Неверт.асимптота кривой у= f (x):если они имеют ур-ие у=kx+b,где параметры а и b определяются ф-ми:

Вопрос 34.

Общая схема исследования ф-ции и построение их граффика.

1.Найти ООФ

2.Найти точку разрыва и ее односторонний предел в этих точках

3.Выяснить на чётность/нечётность,непериодичность и т.д

4.Найти точки пересечения ГФ с осями координат и интервалы ф-ции,т.е. промежутки,в кот-ых f(x)>0 или f(x)<0

5.Найти асимптоты ГФ(не вертикальные)

6.Найти т.экстремума,интервали возраст. и убыв. Ф-ции

7.Найти т.перегиба ГФ и интервалы выпуклости его вверх или вниз

8.Построить ГФ не получая результат.

Вопрос 35.

Наибольшее и наименьшее значение ф-ции на отрезке

Ф-ция может иметь только одно наибольшее и наименьшее значение или может не иметь их совсем.Нахождение этих значений непрерывной ф-ции основано на след.св-вах:

1.Если в некотором интервале(конечном или бесконечном) ф-ция f(x) непрерывна и имеет только один экстремум и это max(min),то он будет наиб или наим. значением ф-ции в этом интервале.

2.Если f(x) непрерывна на некотором отрезке [a;b],то она обязательно имеет на этом отрезке наиб.,наим. значение.

Эти значения достигаются ею или в т.экстремума,лежащих внутри,или на его границах.Их этого следует правило нахождения наиб. и наим. значений f(x) на отр. [a;b],где она непрерывна:

1.Найти критич.точки внутри [a;b] и вычислить значение ф-ции в этих точках не выясняя будет ли она в них экстремумом и какого вида.

2.Вычислить значение f(x) на границах отрезка,т.е f(a) и f(b)

3.Сравнить полученный значения.(самое большое с наиб.,а самое меньшее с наим. значением ф-ции на отр. [a;b])

Вопрос 36.

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Осн ф-лы интегрирования. Отыскание ф-ции F(x) по известному ее диф-лу и по известной произ-ой F`(x)=f(x),т.е.действие обратное диф-ю,наз интегрированием. Искомая ф-ция F(x) наз первообразной от ф-ции f(x).

Всякая непрерывная ф-ция f(x) имеет бесчисленное множество первообразных ф-ций которые отличаются друг от друг постоян слогаемыми,т.е. если F(x) первообразная от f(x),т.е.F`(x)=f(x) то и F(x)+c,где с-произвольная постоянная тоже первообразная от f(x) т.к. {F(x)+с}`=F`(x)-f(x)

Общее выражение F(x)+c в совокупности всех первообразных наз неопред интегралом от этой ф-ции f(x) и обозначается знаком ∫

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением

Геометрически.

Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Свойство:

1)Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2)Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3) Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4)Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Таблица основных интегралов.

Вопрос 37.

Основные приемы интегрирования:подведение под знак дифференциала,замена переменной,интегрирование по частям.

1)непосредственное интегрирование-метод при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подинтегральной ф-ции или выражений и примен св-в неопред интегр приводится к одному или нескольким табл интегралам.

2)замена переменной. Для нахождения интеграла ∫f(x)dx,заменяют перемен X новой переменной t связанной с X подходящей формулой,затем находят dx=ф`(t)dt

3)интегрирование по частям-из формулы дифференц произведения d(uv)=udv+vdu интегралов обеих ее частей uv=∫ udv+∫ vdu получается формула интегрирования по частям:

По этой формуле отыскание интеграла ∫ udv сводится к отысканию др интегр ∫ vdu и поэтому примен этой формулы целесообразно когда последний интеграл ∫ vdu проще исходного ∫udv за u чаще всего применяется ф-ция которая при деффер упрощается это обратные трионометр ф-ции(arcsin),логарифмет ф-ции(ln x)

Вопрос 38.