Занятие № 22. Метод Милна четвертого порядка

Цель - ознакомить студентов с методом Милна четвертого порядка решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим еще один широко известный метод прогноза и коррекции — метод Милна.

Для вывода первой формулы Милна (т.е. формулы предска­зания) проинтегрируем данное уравнение (1) на промежутке [x_i-3, x_i+1] и в полученном интегральном равенстве

(26)

подынтегральную функцию f(x,у(х)) заменим первым интерпо­ляционным многочленом Ньютона Р₃(х), построенным по четы­рем узлам с предполагающимися уже извест­ными приближенными значениями

Тогда, после замены переменной на основании (26) имеем:

Отсюда, выразив конечные разности через значения функции, получаем первую формулу Милна (предсказания)

(27)

которую, очевидно, следует отнести к экстраполяционным.

Главный член локальной погрешности формулы (27) на­ходим интегрированием следующего (первого из неучтенных) слагаемого интерполяционного многочлена Ньютона. Именно:

Считая четвертые разности примерно одинаковыми, опустим ин­декс у функции f в записи в результате получаем сле­дующее приближенное представление решения в точке x_i+1 :

(28)

Вывод второй формулы Милна более прост. Проинтегрируем уравнение (1) теперь на промежутке [x_i-1, x_i+1] и в полученном равенстве

применим к интегралу простейшую формулу Симпсона. Имеем

(29)

Отбрасывая здесь остаточный член и заменяя значения решения y(x_i-1) и y(x_i;) известными приближенными значениями y_i-1 и y_i, а стоящее в правой части под знаком функции f неизвест­ное значение у(х_i+1) тем значением которое получается в результате вычислений по явной первой формуле Милна (27), приходим ко второй формуле Милна (уточнения)

(30)

являющейся интерполяционной.

Для вывода приближенной оценки шаговой погрешности воспользуемся приближенным равенством где так же, как и в (28), — условная запись практически по­стоянных четвертых разностей. Исходя из точного равенст­ва (29), локальную погрешность получаемого с помощью формулы (30) (возможно, с итерационной обработкой, см. за­мечание) приближенного значения y_i+1 можно приближенно охарактеризовать величиной , т.е.

(31)

Сравнение (28) и (31) дает:

следовательно,

(32)

Таким образом, при численном интегрировании начальной задачи (1)-(2) методом Милна четвертого порядка, опреде­ленным формулами (27) и (30), на каждом i-м шаге следует вычислять величину

и сравнивать ее модуль с величиной ε > 0 допустимой шаговой погрешности. Если то за у(х_i+1) принимается получен­ное по второй формуле Милна значение у_i+1 (или его уточненное значение ); иначе шаг должен быть уменьшен.

Фигурирующая в приближенном равенстве (32) постоянная 1/29 примерно вдвое меньше постоянной 19/270≈1/14 в аналогичном равенстве (24) для предиктор-корректорного метода Адамса четвертого порядка (22), что характеризует метод Милна как несколько более точный при одинаковых вычисли­тельных затратах.

Приложение 1

ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА

Полиномы Лежандра являются специальными функциями, которые применяются при решении многих теоретических и прикладных задач. Полином Лежандра n-й степени можно определить с помощью производной n-го порядка следующим образом:

(1)

где z - комплексная переменная.

В данном учебном пособии рассматриваются и используются полиномы Лежандра для действительного аргумента x, лежащего в интервале x∈[-1, 1].

С помощью определения (1) легко получить явные выражения полиномов Лежандра действительного аргумента низших степеней:

(2)

Графики перечисленных полиномов приведены на рис.1.

Все полиномы Лежандра P_n(x) имеют следующие граничные значения:

(3)

Нетрудно убедиться, что полиномы Лежандра четной степени являются четными функциями и наоборот.

Важным для практических применений является свойство ортогональности полиномов Лежандра:

(4)

где Q_k(x) - любой полином степени k, меньшей n (k < n).

Полиномы Лежандра подчиняются рекуррентному соотношению

(5)

которое, в частности, удобно для последовательного вычисления полиномы высоких степеней.

Рис.1. Графики полиномов Лежандра а) n = 0, 1, 2, б) n = 3, 4.

Приложение 2.

Параметры квадратурных формул Гаусса

Индивидуальное домашнее задание № 1

1. В приведенных задачах числа m, n, k вычислены с некоторой погрешностью. Необходимо вычислить и определить погрешность результата для Х.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

2. Ознакомьтесь с методами приближенного вычисления корней уравнений. Найдите один действительный корень уравнения с точностью 10^-5. В ходе решения осуществить следующие шаги:

2.1. Отделить корень уравнения.

2.2. Вычислить с помощью программы значение отдельного корня методами: деление отрезка пополам, хорд, касательных, комбинированным методом, методом итераций. При использовании метода простых итераций найти решение при разных начальных приближениях. Результаты вычислений занести в таблицу.

Вариант задания выбрать из табл. 1.1.

3. Найдите действительный корень уравнения с точностью 10^-4, на интервале [a,b]. На первом этапе решения методом деления пополам, уменьшать интервал, содержащий корень, до тех пор, пока его длина не станет меньше 0,2. Потом, применить один из «более» быстрых методов.

ОТЧЕТ О РАБОТЕ

Отчет должен содержать:

1. График исследуемой функции с интервалами отделения корней.

2. Таблицы пошаговых расчетов корня уравнения.

3. Обоснованное заключение о преимуществах и недостатках использования исследованных методов решения применительно к заданному уравнению (для задания 1).

4. Используя схему Гаусса (схема единственного деления и схема полного выбора) решить систему уравнений

5. Решить систему уравнений двумя способами — методом итераций и методом Зейделя. Продолжать итерации до тех пор, пока точность приближенного решения не станет меньше 0,01.

Индивидуальное задание №2.

1. Функция y=f(x) задана таблицей значений:

Указания. Для вариантов 10 - 12 значения аргумента x предварительно перевес­ти из градусов в радианы.

Даны контрольные значения аргумента x₁=12; x₂=26; x₃=42.

a) Написать подходящие для приближенного вычисления значений y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), y₃=f(x₃) интерполяционные многочлены Лагранжа первой и второй степени. Получить эти значения.

b) Составить алгоритм и написать программу на языке высокого уровня, реали­зующую схему Эйткена вычисления с максимально возможной точностью значения y=f(x) в произвольной точке x промежутка Пользуясь этим алгоритмом, вычислить приближенные зна­чения

c) Сделать анализ результатов заданий 1, 2.

2. Для заданной таблично функции построить все возможные интерполяционные многочлены Ньютона максимальной степени, пригодные для определения значения функции в указанных промежуточных точках Для всех вариантов

3. Вычислить значения данной функции и ее прозводной с помощью интерполяционного полинома Лагранжа L_n(x). В качестве узлов интерполяции взять:

1) равномерно распределенные точки на отрезке [a; b];

2) чебышевский набор узлов на отрезке [a; b].

При табулировании функции вычислять ряд с точностью 10^-6.

Замечание. При вычислении ряда учесть, что каждый последующий член ряда a_n+1 получается из предыдущего члена a_n умножением на величину q_n, т.е. Это позволит избежать переполнения при вычислении факториалов.

4. Найти приближенные значения функции при данных промежуточных значениях аргумента с помощью кубического сплайна и визуализируйте результаты сплайн-интерполяции.

Отчет должен содержать:

ü постановку задачи и исходные данные;

ü описание методов решения;

ü графики, полученных интерполяционных многочленов;

ü листинг программы.

Индивидуальное задание №3

1. Используя данные таблицы 1, вычислить производную указанной функции в точке х (точка х не является узлом таблицы)

2. Используя данные таблицы 1, вычислить производную указанной функции в точке х (точка х – узел таблицы)

Таблица 1.

Вариант	Задание 1.	Задание 2.
Таблица №	х	Таблица №	х	Используемая формула
		3.0	2 (взять 5 последних значений)	5,3	Лагранжа
		3.5	3 (взять 4 последних значения)	6,7	Лагранжа
		2.5		2,6	Ньютона
		5.8		-3,2	Ньютона
		3.1		2,3	Ньютона
		3.9		2,1	Ньютона
		3.3	4 (взять 5 первых значений)	-0,8	Лагранжа
		6.0	5 (взять 4 первых значения)	3,8	Лагранжа
		3.2	2 (взять 5 первых значений)	2,9	Лагранжа
		5.3		1,6	Ньютона
		3.9		3,4	Ньютона
		7.2	5 (взять 4 первых значения)		Лагранжа
		4.4		6,2	Ньютона
		3.6	3 (взять 5 последних значений)	4,5	Лагранжа
		2.2	4 (взять 5 последних значений)		Лагранжа
		6.8		3,7	Ньютона
		3.4		5,6	Ньютона
		3.7	4 (взять 4 последних значения)	6,4	Лагранжа
		1.8	5 (взять 5 первых значений)	7,4	Лагранжа
		7.6		4,5	Ньютона

Таблица 2. x f(x)=1/x·lgx+x2 1,3 1,7776 2,1 4,5634 2,9 8,5694 3,7 13,8436 4,5 20,3952 5,3 28,2267 6,1 37,3387	Таблица 3. x f(x)=ln2,3x-0,8/x 1,2 0,3486 2,3 1,3180 3,4 1,8214 4,5 2,1592 5,6 2,4128 6,7 2,6156 7,8 2,7845
Таблица 4. X f(x)=2,1·sin0,37x -3,2 -1,9449 -0,8 -0,6126 1,6 1,1718 2,0913 6,4 1,4673 8,8 -0,2397 11,2 -1,7698	Таблица 5. x f(x)=1,7 -cos(0,4-0,7x) 2,6 2,1874 3,8 3,2888 3,9061 6,2 3,8209 7,4 3,2452 8,6 2,6949 9,8 2,6535

3. Вычислить значения интеграла, используя квадратурные формулы:

· левых прямоугольников,

· правых прямоугольников,

· центральных прямоугольников,

· трапеции,

· Симпсона,

· Ньютона,

· Гаусса с двумя узлами.

Интеграл вычислить с точностью ε=10^-6. Точность вычисления интеграла определяется сравнением результатов при различном числе разбиений отрезка интегрирования. Именно, точность ε считается достигнутой, если

здесь - значение составной квадратурной формулы при разбиении отрезка на N частей.

Отчет должен содержать:

· постановку задачи и исходные данные,

· описание методов решения и расчетные формулы,

· таблицы значений интегралов с указанием числа разбиений, потребовавшихся для достижения заданной точности,

· листинг программы.

Варианты заданий.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

Литература

1. Бахвалов Н. С. Численные методы: учеб. пособие для вузов/ Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - 4-е изд.; Гриф МО. - Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 636 с. - (Классический университетский учебник). - Библиогр.: с. 624-628. - Предм. указ.: с. 629-632.

2. Вержбицкий В. М. Численные методы: Линейная алгебра и нелинейные уравнения: учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. - 2-е изд., испр.; Гриф МО. - Москва: ОНИКС 21 век, 2005. - 431 с.: ил. - Библиогр.: с. 419-424. - Предм. указ. с. 425-429.

3. Демидович Б. П. Численные методы анализа: приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: учеб. пособие / Б. П. Демидович, В. А. Марон, Э. З. Шувалова; под ред. Б. П. Демидовича. - Изд. 4-е, стер. - Санкт-Петербург: Лань, 2008. - 400 с. - (Классическая учебная литература по математике). - Библиогр. в конце гл.

4. Киреев В. И. Численные методы в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов/ В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. - Изд. 2-е, стер.; Гриф УМО. - Москва: Высш. шк., 2006. - 480 с.: ил. - (Прикладная математика для ВТУЗов). - Библиогр.: с. 477-480 .

5. Пантина И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс] учебник для вузов/ И. В. Пантина, А. В. Синчуков. - 2-е изд., перераб. и доп. - Москва: Синергия, 2012. - 175 с.

6. Пирумов У. Г. Численные методы: учеб. пособие для вузов/ У. Г. Пирумов. - 2-е изд., испр. и доп.; гриф МО. - Москва: Дрофа, 2003. - 221 с.: ил. - (Высшее образование). - Библиогр.: с. 216. - Имен. указ.: с. 217.

7. Срочко В. А. Численные методы: курс лекций / В. А. Срочко. - Гриф УМО. - Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2010. - 202 с. - Библиогр.: с. 200.

8. Турчак Л. И. Основы численных методов: учеб. пособие / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. - Изд. 2-е, перераб. и доп.; Гриф МО. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 300 с.: ил. - Библиогр.: с. 290-292. - Прил.: с. 286-289. - Предм. указ.: с. 293-300.

9. Шевцов Г. С. Численные методы линейной алгебры: учеб. пособие для мат. напр. и спец. / Г. С. Шевцов, О. Г. Крюкова, Б. И. Мызникова. - Гриф УМО. - Москва: Финансы и статистика: ИНФРА-М, 2008. - 479 с. - (Финансы и статистика). - Библиогр.: с. 473-474. - Предм. указ.: с. 475-479.