Поперечне хвильове число

Для будь якого типу хвиль при відсутності сторонніх джерел поля (або

струму, напруги, зарядів), вектори та задовольняють векторним рівнянням Гельмгольца:

, (4)

де - квадрат хвильового числа.

Рівняння (4) справедливо для будь якої хвилі.

Будемо шукати такі вирішення системи (4), які властиві біжучій хвилі, тобто у вигляді (2). Підставимо (2) в (4), та будемо вважати середовище без втрат, тобто , , а оператор Лапласа візьмемо у вигляді

,

де .

Тоді отримаємо

а) (5)

б)

Раніше в (4) множник був названий хвильовим числом. Але (4) - це рівняння відносно всіх трьох координат, а в (5) входять тільки дві поперечні координати ЛП, тому було б природнім назвати аналогічний множник в (5)

(4)

квадратом поперечнього хвильового числа ( ) для відповідної ЛП. Тоді до

множника більше підійде назва: повздовжнє хвильове число вільного простору К_в. Таким чином далі будемо вважати

, , , (7)

де К_х - вільний простір;

- напрямна система.

З урахуванням співвідношення (1) кожне рівняння в (5а) та (5б) еквівалентне трьом скалярним рівнянням відносно Е_х(х,у)_, E_z(x,y) та Н_х(х,у), Н_у(х,у) та H_z(x,y). Але розв'язувати шість рівнянь нема потреби, бо з рівнянь Максвелла можливо отримати вирази, які дають зв'язок між E_s, H_s та E_z, H_z.

1.3 Зв'язок між E_s, H_s тa E_z, H_z

Запишемо рівняння Максвелла в комплексній формі.

(8)

де .

Запишемо рівняння (8) відносно проекцій векторів , , , на вісі х та у

; ;

; .

Далі врахуємо, що і тоді

а) (9)

б)

в)

г)

З виразу (9в) знайдемо (якщо , то і А = В).

- підставимо в (9а)

- знесемо вліво

- розділимо обидві частини на j та помножимо на

і отримаємо вираз (10а).

Виконуючи аналогічні дії для , , неважко отримати (10б), (10в) та (10г)

а)

б)

в) (10)

г)

Складемо (10а) та (10б) і отримаємо

.

Розглянемо вираз в останніх дужках з врахуванням векторних співвідношень ; і отримаємо

,

або з врахуванням попереднього співвідношення

. (11)

Якщо скласти (10в) та (10г), неважко отримати

. (12)

Особливо відмітимо, що співвідношення (11) та (12) отримані з самих загальних співвідношень - рівнянь Максвелла, тому вони теж мають загальний характер, справедливі для будь-яких типів напрямлених хвиль - Е, Н, ТЕМ, гібридні та не залежать від типу ЛП.

Висновок: маючи співвідношення (11) та (12), для знаходження та достатньо вирішити (розв'язати) хвильові скалярні рівняння для та (а не вектори типу (4))

(13)

з граничними умовами, відповідними розглядуваному типу хвилі в конкретній ЛП, а потім поперечні складові знаходяться потім по (11) та (12).