Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число 56?

Число возможных исходов 100 (сто чисел). Верно названное число одно это 56, значит благоприятный исход один. Вероятность того, что он назовёт число 56 будет один к ста или 0,01.

Ответ: 0,01

Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число кратное пяти?

Число возможных исходов 100 (сто чисел). Чисел кратных пяти двадцать (перечислим):5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100. То есть число благоприятных исходов 20. Вероятность того, что ученик назовёт число кратное пяти равна 20 к 100 или 20/100=0,2.

Ответ: 0,2

Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число, принадлежащее промежутку от 5 до 20 включительно?

Число возможных исходов 100. Число благоприятных исходов 16: это числа от 5 до 20 (5,6…..19,20), причём 5 и 20 входят в промежуток (в условии сказано «от 5 до 20 включительно»). Искомая вероятность равна 16/100.

Ответ: 0,16

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 1 жёлтая и 4 зелёных. На вызов выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Возможное число исходов 10. Число благоприятных исходов 1 (жёлтая машина одна). Искомая вероятность равна 1 к 10 или 0,1.

Ответ: 0,1

Валя выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Число возможных исходов это количество трёхзначных чисел. Их существует от 100 до 999, быстрее всего их можно посчитать так: 1000-1-99=900 (исключаем тысячу и числа от 1 до 99). То есть число всевозможных исходов: 900. Найдем, сколько трехзначных чисел делится на 51. Если мы поделим 999 - самое большое трехзначное число - на 51, то получим приблизительно 19 целых пятьдесят восемь сотых. То есть в 999 вмещается 19 чисел, кратных 51. Но среди них есть и само число 51, которое не является трехзначным. А значит трехзначных чисел, делящихся на 51 - 18. Число благоприятных исходов 18. Вероятность искомого события равна 18 к 900, или 18/900=0,02.

Ответ: 0,02

При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый раз выпало меньше трёх очков.

Сумму в шесть очков можно получить следующими способами (переберём варианты): 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1 - всего их пять, это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов также видно, что менее трёх очков при первом броске может выпасть только в двух случаях. Искомая вероятность равна 2 к 5 или 0,4.

Ответ: 0,4

Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, первые два броска окончатся одинаково.

Найдём число возможных исходов, переберём все варианты бросков. В подобных задачах составляйте таблицу, так считать на много удобней.

	1-й бросок	2-ой бросок	3-ий бросок
	орёл	орёл	орёл
	орёл	орёл	решка
	орёл	решка	решка
	орёл	решка	орёл
	решка	решка	решка
	решка	решка	орёл
	решка	орёл	орёл
	решка	орёл	решка

Всего возможных исходов восемь. Первые два броска одинаково могут окончится в четырёх случаях это 1,2,5,6 варианты, то есть благоприятных исходов 4. Искомая вероятность равна 4/8=0,5. Обратите внимание, что если в условие добавить одно только слово, смысл задачи изменится, многие из-за невнимательности решают неверно. Итак: монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что только первые два броска окончатся одинаково. Благоприятных исходов будет 2, это 2-й и 6-й варианты, первый и пятый варианты исключаются из-за этого «только».

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

В данной задаче составляется та же таблица, что и предыдущей. Орёл не выпадет ни разу только в одном варианте из восьми (пятый вариант). Искомая вероятность равна 1 к 8 или 0,125.

Ответ: 0,125

В среднем на 150 карманных фонариков приходится три неисправных. Какова вероятность купить исправный фонарик.

Количество возможных исходов 150. Количество благоприятных исходов 150-3=147 (на 150 приходится 147 исправных). Вероятность купить исправный фонарик 147 к 150 или 147/150=49/50=0,98

Ответ: 0,98

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

В подобных задачах для удобства следует составить таблицу сумм для двух костей (все варианты сумм, которые могут выпасть):

Всего исходов 36 (6 на 6). Благоприятных исходов 5 (легко подсчитать в таблице). Вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна 5 к 36 или 0,13888888…. Округляем до сотых, получаем 0,14.

Ответ: 0.14

Од

Перестановки решение

Задача 1

В пассажирском поезде 17 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 17 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

Ответ:

17! способами.

Задача 2

На танцплощадке собрались N юношей и N девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

Подсказка:

"Зафиксируем" девушек. Тогда разбиение на пары определяется перестановкой юношей.

Ответ:

N! способами.

Задача 3

Сколько существует различных возможностей рассадить 5 юношей и 5 девушек за круглый стол с 10 креслами так, чтобы они чередовались?

Ответ:

2·(5!)² = 28800 возможностей.

Задача 4

В городе Васюки у всех семей были отдельные дома. В один прекрасный день каждая семья переехала в дом, который раньше занимала другая семья. В связи с этим было решено покрасить все дома в красный, синий или зелёный цвет, причём так, чтобы для каждой семьи цвет нового и старого домов не совпадал. Можно ли это сделать?

Решение:

Все семьи города можно разбить на замкнутые цепочки, в которых после каждой семьи будет стоять та, в дом которой семья переехала (может быть, будет всего одна цепочка). В цепочках из чётного числа семей, будем красить дома попеременно в синий и зелёный цвета — тогда каждая семья переедет из синего дома в зелёный или наоборот. А в тех цепочках, где число семей нечётно, покрасим один дом в красный цвет, а оставшееся чётное число домов — попеременно в синий и зелёный. Тогда все дома будут окрашены с выполнением требований задачи.

Ответ:

Можно.

Задача 5

Семнадцать девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

Решение:

Первый способ. Зафиксируем одно из мест в круге. Всегда можно повернуть круг так, чтобы на этом месте оказалась первая девушка. Остальные 16 девушек могут расположиться по оставшимся 16 местам 16! способами.
Второй способ. 17 девушек по 17 местам можно расставить 17! способами. Разобьем все эти расстановки на группы, объединив в одну группу расстановки, получающиеся друг из друга поворотами. Очевидно, в каждой группе – по 17 расстановок. Следовательно, групп (то есть способов встать в круг) 17! : 17 = 16!.

Ответ:

16! способами.

Задача 6

а) Сколькими способами 28 учеников могут выстроиться в очередь в столовую?
б) Как изменится это число, если Петю Иванова и Колю Васина нельзя ставить друг за другом?

Решение:

б) Временно уберем из очереди Колю. Оставшихся учеников можно расставить 26! способами, но два из них – перед Петей и после него – запрещены.

Ответ:

а) 28!; б) 26·27!.

Задача 7

Анаграммой называется произвольное слово, полученное из данного слова перестановкой букв. Сколько анаграмм можно составить из слов:
а) "точка"; б) "прямая"; в) "перешеек"; г) "биссектриса"; д) "абракадабра"; е) "комбинаторика"?

Подсказка:

См. задачу 30330.

Ответ:

а) 5! = 120; б) 6! : 2 = 360; в) 8! : 4! = 1680; г) 11! : (2!·3!) = 3326400; д) 11! : (5!·2·2) = 83160; е) 13! : 2⁴ анаграмм.

Задача 8

Даны шесть слов:

ЗАНОЗА

ЗИПУНЫ

КАЗИНО

КЕФАЛЬ

ОТМЕЛЬ

ШЕЛЕСТ

За один шаг можно заменить любую букву в любом из этих слов на любую другую (например, за один шаг можно получить из слова ЗАНОЗА слово ЗКНОЗА. Сколько шагов нужно, чтобы сделать все слова одинаковыми (допускаются бессмысленные)? Приведите пример и докажите, что меньшим числом шагов обойтись нельзя.

Решение:

Ответ: 25. Напишем слова в столбик:

ЗАНОЗА

ЗИПУНЫ

КАЗИНО

КЕФАЛЬ

ОТМЕЛЬ

ШЕЛЕСТ

После всех замен буквы в каждой колонке должны стать одинаковыми. Число замен будет наименьшим, если в каждой колонке сохранить наиболее частую букву (любую из них, если таких букв несколько). Например, в первой колонке можно оставить буквы З или К, они обе требуют четырёх замен. Минимальное число замен равно 4+4+5+4+4+4=25.

Среди слов, которые могут получиться в результате, есть осмысленные, например ЗЕЛЕНЬ, КАПЕЛЬ или КАФЕЛЬ.

Задача 9

a₁, a₂, ..., a₁₀₁ — такая перестановка чисел 2, 3, ..., 102 , что a_k делится на k при каждом k. Найти все такие перестановки.

Решение:

Добавим а₁₀₂ = 1. Мы получили подстановку на множестве {1, 2, ..., 102}. Она распадается на циклы. Но наименьшее число нетривиального (содержащего более одного числа) цикла стоит на месте с номером, большим самого числа. По условию таким числом может быть только 1, следовательно, нетривиальный цикл только один (и состоит из некоторых делителей числа 102, каждый из которых является делителем следующего), а остальные циклы тривиальны. Вот все варианты нетривиальных циклов (их 13):
(1, 102); (1, 2, 102); (1, 3, 102); (1, 6, 102); (1, 17, 102); (1, 34, 102); (1, 51, 102); (1, 2, 6, 102); (1, 2, 34, 102); (1, 3, 6, 102); (1, 3, 51, 102); (1, 17, 34, 102); (1, 17, 51, 102).

Другой подход. Заметим, что произведение целых чисел равно 102, следовательно, каждому упорядоченному разложению 102 на множители соответствует перестановка. Например, разложению 102 = 3· 2·17 соответствует перестановка a₁ = 3, a₃ = 3·2 = 6, a₆ = 102.

Задача 10

В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом является любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Бум-Бум?

Подсказка:

Сколько шестибуквенных последовательностей не являются словами?

Ответ:

6⁶ – 6! слов.

Задача 11

а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).

б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.

Подсказка:

а) На каждом месте каждая из цифр встречается 4² = 16 раз.

Решение:

б) Найдем сначала сумму цифр разряда единиц. Каждая цифра от 1 до 7 входит (в качестве цифры единиц) в 6! чисел, значит, эта сумма равна 6!·(1 + 2 + ... + 7) = 28·6!. То же верно и для остальных разрядов.

Ответ:

а) 16·(1 + 2 + 3 + 4)·111 = 17760; б) 28·6!·1111111.

.