Простейшие тригонометрические уравнения

Что такое тригонометрическое уравнение?

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Уравнения вида sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a,

где x - переменная, а число называются простейшими тригонометрическими уравнениями (для функций sin x и cos x |a| < 1)

Есть несколько способов решать тригонометрические уравнения (с помощью единичной окружности или графически), но проще всего выучить формулы:

БЛОК I a > 0

Þ

БЛОК II – a < 0

Þ

БЛОК III частные случаи (а = 0, 1, – 1)

Þ

Þ

Þ

Примеры

Ответ: ;

Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение вида a sinx + b cosx = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0

называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Уравнение вида a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0 ,

где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Например:

Пример:

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0

Выполним почленное деление на cos²x

( это возможно, т.к. : sinx и cosx не могут одновременно равняться нулю)

а tg²x + b tgx + c = 0

(уравнение, сводящееся к квадратному).

Итак, однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (или sinx). А уравнения второй степени решаются делением обеих частей на cos²x (или sin²x).

Пример 1. Решить уравнение:

Решение:

Это уравнение является однородным относительно sinx и cosx.

Поэтому, разделив его на , получим

Введем новую переменную и решим квадратное уравнение

Ответ:

Пример 2.

3 sin²x – 4 sinx cosx + cos²x = 0

Т.к. cos²x ≠ 0, то

3tg²x – 4 tgx + 1 = 0 Замена: tgx = у.

3у²– 4 у + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y₁ = 1 или y₂ = 1/3

tgx = 1 или tgx = 1/3

tgx = 1: Þ x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

tgx = 1/3: Þ х = arctg1 + πn, x = π/4 + πn, n ∈Z.

Пример 3.

sin²x – 10 sinx cosx + 21cos²x = 0

Т.к. cos²x ≠ 0, то

tg²x – 10 tgx + 21 = 0 Замена: tgx = у.

у² – 10 у + 21 = 0

у₁ = 7 или у₂ = 3

tgx = 7 или tgx = 3

tgx = 7: х = arctg7 + πn, n ∈Z

tgx = 3: х = arctg3 + πn, n ∈Z

Пример 4

sin²2x – 6 sin2x cos2x + 5cos²2x = 0

Т.к. cos²2x ≠ 0,

то 3tg²2x – 6tg2x +5 = 0

Замена: tg2x = у

3у² – 6у + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

у₁= 5 или у₂ = 1

tg2x = 5 или tg2x = 1

tg2x = 5: 2х = arctg5 + πn, х = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z

tg2x = 1: 2х = arctg1 + πn х = π/8 + π/2 n, n ∈Z

Пример5

6sin²x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin²x + 4 sinx cosx = 1.

6sin²x + 4 sinx cosx – sin²x – cos²x = 0.

5sin²x + 4 sinx cosx – cos²x = 0.

Т.к. cos²x ≠0, то 5tg²x + 4 tgx –1 = 0

Замена: tg x = у.

5у² + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

у₁ = 1/5 или у₂ = –1

tg x = 1/5 или tg x = –1

tg x = 1/5: х = arctg1/5 + πn, n ∈Z

tg x = –1: х = arctg(–1) + πn, n ∈Z

х = –π/4 + πn, n ∈Z

Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 7

Ответьте на вопросы:

1) Какое уравнение называется тригонометрическим?

2) Какое уравнение называется однородным первой степени?

3) Какое уравнение называется однородным второй степени?

Решите упражнения:

1) 2)

3) 4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12) 13)

14) 15)

16) 17)

18) 19)

Проверьте своё решение:

Ответы:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11)

12)

13)

14)

15)

16) 17)

18)

19)