Операторы в линейных пространствах.

Пусть операторы в линейных пространствах. - student2.ru и операторы в линейных пространствах. - student2.ru - два произвольных линейных пространства. Как известно, оператором, действующим из операторы в линейных пространствах. - student2.ru в операторы в линейных пространствах. - student2.ru называется отображение пространства операторы в линейных пространствах. - student2.ru в пространство операторы в линейных пространствах. - student2.ru . Если отображение обозначить символом операторы в линейных пространствах. - student2.ru , то это записывают так:

операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

Образ вектора операторы в линейных пространствах. - student2.ru обозначают операторы в линейных пространствах. - student2.ru или операторы в линейных пространствах. - student2.ru и называют значением оператора операторы в линейных пространствах. - student2.ru на векторе операторы в линейных пространствах. - student2.ru . По определению операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

Оператор операторы в линейных пространствах. - student2.ru называют линейным оператором, если операторы в линейных пространствах. - student2.ru и операторы в линейных пространствах. - student2.ru - пространства над одним и тем же полем операторы в линейных пространствах. - student2.ru и при этом

1. операторы в линейных пространствах. - student2.ru

(аддитивность оператора);

2. операторы в линейных пространствах. - student2.ru

(однородность оператора).

Понятие линейного оператора является одним из важнейших в математике. Это подтверждается хотя бы тем, что основные операторы, изучаемые в математическом анализе и алгебре (предельный переход, дифференцирование, интегрирование, проектирование на подпространство, умножение на матрицу и др.) являются линейными.

Оператор операторы в линейных пространствах. - student2.ru называют также преобразованием пространства операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

Основные типы задач по этой теме:

a) проверка линейности заданного оператора;

b) нахождение образа, ядра, ранга и дефекта линейного оператора;

c) построение матрицы линейного оператора в данных базисах (в данном базисе);

d) нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора (№№1465-1484);

e) построение канонического базиса и жордановой нормальной формы линейного оператора (№№1529-1536).

Основная трудность задач первой группы состоит в том, что примеры операторов могут быть взяты из различных разделов математики и требуют от студента эрудиции и определенной математической культуры. Приведем несколько примеров.

Задача 3.1. Проверьте линейность следующих операторов:

1. операторы в линейных пространствах. - student2.ru операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

2. операторы в линейных пространствах. - student2.ru ( операторы в линейных пространствах. - student2.ru -пространство многочленов степени операторы в линейных пространствах. - student2.ru над некоторым полем).

операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

3. операторы в линейных пространствах. - student2.ru операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

4. операторы в линейных пространствах. - student2.ru операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

5. операторы в линейных пространствах. - student2.ru операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

6. операторы в линейных пространствах. - student2.ru . Определим оператор операторы в линейных пространствах. - student2.ru так: если операторы в линейных пространствах. - student2.ru и операторы в линейных пространствах. - student2.ru , то операторы в линейных пространствах. - student2.ru (оператор проектирования на операторы в линейных пространствах. - student2.ru параллельно операторы в линейных пространствах. - student2.ru ).

7. операторы в линейных пространствах. - student2.ru ( операторы в линейных пространствах. - student2.ru - фиксированный вектор).

Решение.

1. операторы в линейных пространствах. - student2.ru является отображением. Проверим аддитивность и однородность.

операторы в линейных пространствах. - student2.ru

операторы в линейных пространствах. - student2.ru

операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

Все условия выполнены, значит, операторы в линейных пространствах. - student2.ru является линейным оператором.

5. операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

операторы в линейных пространствах. - student2.ru

операторы в линейных пространствах. - student2.ru ,

операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

операторы в линейных пространствах. - student2.ru

операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

операторы в линейных пространствах. - student2.ru . Теперь проверяем аддитивность и однородность. Напомним: если операторы в линейных пространствах. - student2.ru , то операторы в линейных пространствах. - student2.ru и операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

Находим операторы в линейных пространствах. - student2.ru

операторы в линейных пространствах. - student2.ru

операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

Точно так же

операторы в линейных пространствах. - student2.ru

операторы в линейных пространствах. - student2.ru .

Все условия определения линейного оператора выполнены.

операторы в линейных пространствах. - student2.ru - линейный оператор.

Линейный оператор нулевой вектор отображает в нулевой ( операторы в линейных пространствах. - student2.ru ). Поэтому, если операторы в линейных пространствах. - student2.ru , то операторы в линейных пространствах. - student2.ru нелинейный. Рекомендуем в подозрительных случаях прежде, чем начинать проверку аддитивности и однородности, вычислить значение оператора на нулевом векторе. Так в упражнении 2 операторы в линейных пространствах. - student2.ru - нелинейный. В упражнении 3 операторы в линейных пространствах. - student2.ru - нелинейный.

Для доказательства нелинейности достаточно привести пример двух векторов, для которых нарушена аддитивность, или пример вектора или скаляра, для которых не выполнена однородность (равенство операторы в линейных пространствах. - student2.ru может иметь место и для нелинейных операторов). Например: в упражнении 7 настораживает то, что текущий вектор операторы в линейных пространствах. - student2.ru находится под знаком операторы в линейных пространствах. - student2.ru . Поэтому проверку ведем на конкретных векторах.

операторы в линейных пространствах. - student2.ru

Очевидное неравенство операторы в линейных пространствах. - student2.ru доказывает неаддитивность операторы в линейных пространствах. - student2.ru и его нелинейность.

В этом же примере можно поступить и так:

операторы в линейных пространствах. - student2.ru

Поэтому оператор операторы в линейных пространствах. - student2.ru неоднороден, следовательно, и нелинеен.

Проверку линейности операторов из упражнений 4 и 6 предоставляем читателю.

Чтобы глубже понять определение линейного оператора, придумайте примеры:

1. оператора аддитивного, но не однородного;

2. оператора однородного, но не аддитивного.

Наши рекомендации