Операторы в геометрических пространствах

Задача 3.Найти матрицу проецирования пространства V3 на плоскость Операторы в геометрических пространствах - student2.ru параллельно оси Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

Решение.Базисные векторы Операторы в геометрических пространствах - student2.ru переходят при проецировании в себя, вектор Операторы в геометрических пространствах - student2.ru переходит в Операторы в геометрических пространствах - student2.ru (нулевой вектор). Матрица оператора имеет вид:

Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

Задача 4.Найти матрицу поворотапространства V3 вокруг оси Операторы в геометрических пространствах - student2.ru на угол Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

Операторы в геометрических пространствах - student2.ru
j
Операторы в геометрических пространствах - student2.ru
Операторы в геометрических пространствах - student2.ru
Операторы в геометрических пространствах - student2.ru
Решение.При повороте вокруг оси Операторы в геометрических пространствах - student2.ru вектор Операторы в геометрических пространствах - student2.ru переходит в себя, а плоскость Операторы в геометрических пространствах - student2.ru поворачивается на угол Операторы в геометрических пространствах - student2.ru . Найдем координаты векторов Операторы в геометрических пространствах - student2.ru – образов базисных векторов Операторы в геометрических пространствах - student2.ru при повороте на угол Операторы в геометрических пространствах - student2.ru . Проекции вектора Операторы в геометрических пространствах - student2.ru равны Операторы в геометрических пространствах - student2.ru , а вектора Операторы в геометрических пространствах - student2.ruОператоры в геометрических пространствах - student2.ru (см. рис.), то есть Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

Следовательно, матрица Операторы в геометрических пространствах - student2.ru оператора поворотаплоскости Операторы в геометрических пространствах - student2.ru на угол j имеет вид: Операторы в геометрических пространствах - student2.ru , а матрица оператора поворотапространства вокруг оси Операторы в геометрических пространствах - student2.ru на угол j имеет следующий вид:

Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

Операторы в функциональных пространствах

Задача 5.Выбрав подходящий базис в пространстве Операторы в геометрических пространствах - student2.ru многочленов степени не выше Операторы в геометрических пространствах - student2.ru , найти матрицу Операторы в геометрических пространствах - student2.ru оператора дифференцирования Операторы в геометрических пространствах - student2.ru в этом базисе.

Решение. Выберем в Операторы в геометрических пространствах - student2.ru базис Операторы в геометрических пространствах - student2.ru . Т.к. Операторы в геометрических пространствах - student2.ru , то матрица Операторы в геометрических пространствах - student2.ru оператора дифференцирования в этом базисе имеет вид:

Операторы в геометрических пространствах - student2.ru (мы ограничились, для простоты, случаем Операторы в геометрических пространствах - student2.ru ).

Задача 6.Выбрав подходящий базис в функциональном пространстве Операторы в геометрических пространствах - student2.ru , найти матрицу оператора Операторы в геометрических пространствах - student2.ru сдвига аргумента на Операторы в геометрических пространствах - student2.ru в этом базисе Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

Решение.Выберем в Операторы в геометрических пространствах - student2.ru базис Операторы в геометрических пространствах - student2.ru . Применим оператор Операторы в геометрических пространствах - student2.ru к базисным векторам (функциям). Получим:

Операторы в геометрических пространствах - student2.ru

Следовательно, матрица Операторы в геометрических пространствах - student2.ru оператора сдвига аргумента в пространстве Операторы в геометрических пространствах - student2.ru в базисе Операторы в геометрических пространствах - student2.ru имеет следующий вид: Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

Матричная запись действия оператора

Задача 7.Заданы матрица Операторы в геометрических пространствах - student2.ru оператора Операторы в геометрических пространствах - student2.ru и координаты Операторы в геометрических пространствах - student2.ru вектора Операторы в геометрических пространствах - student2.ru . Найти координаты Операторы в геометрических пространствах - student2.ru вектора Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

Решение.Координаты Операторы в геометрических пространствах - student2.ru вектора Операторы в геометрических пространствах - student2.ru определяются с помощью умножения матрицы Операторы в геометрических пространствах - student2.ru оператора Операторы в геометрических пространствах - student2.ru на столбец Операторы в геометрических пространствах - student2.ru из координат вектора Операторы в геометрических пространствах - student2.ru , то есть Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1.Выяснить, какие из заданных преобразований Операторы в геометрических пространствах - student2.ru являются линейными и найти их матрицы.

1) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru ; 2) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru ;

3) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru ; 4) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

2.Найти матрицы линейных преобразований пространства Операторы в геометрических пространствах - student2.ru

1) Проецирования пространства на ось Операторы в геометрических пространствах - student2.ru параллельно плоскости Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

2) Симметрии пространства относительно плоскости Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

3) Симметрии пространства относительно оси Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

4) Поворотпространства вокруг прямой Операторы в геометрических пространствах - student2.ru на угол 120°.

3. Выбрав подходящие базисы в функциональных пространствах, найти матрицы указанных линейных операторов.

1) Оператора дифференцирования на пространстве Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

2) Оператора сдвига аргумента Операторы в геометрических пространствах - student2.ru на пространстве Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

3) Оператора дифференцирования на пространстве Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

4) Оператора сдвига аргумента Операторы в геометрических пространствах - student2.ru на пространстве Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

4. Заданы координаты Операторы в геометрических пространствах - student2.ru вектора Операторы в геометрических пространствах - student2.ru и матрица Операторы в геометрических пространствах - student2.ru оператора Операторы в геометрических пространствах - student2.ru . Найти координаты Операторы в геометрических пространствах - student2.ru вектора Операторы в геометрических пространствах - student2.ru

1) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru ; Операторы в геометрических пространствах - student2.ru ; 2) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru ; Операторы в геометрических пространствах - student2.ru ;

3) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru ; Операторы в геометрических пространствах - student2.ru ; 4) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru ; Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

Ответы:

1.1) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru ; 3) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru.

В задачах2) и 3) преобразования Операторы в геометрических пространствах - student2.ru не являются линейными.

2.1) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru 2) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru 3) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru 4) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

3.1) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru

2) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru 3) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru 4) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

4.1) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru 2) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru 3) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru 4) Операторы в геометрических пространствах - student2.ru .

Тема 5. Определители

Наши рекомендации