Операторы в евклидовых пространствах

Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают рядом специальных свойств, которые весьма важны для приложений линейной алгебры в различных предметных областях. Мы остановимся только на основных вопросах этой теории, в частности, будем изучать теорию линейных операторов исключительно в вещественных пространствах с ортонормированными базисами, а именно в пространстве Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Причём операторы будем считать преобразованиями, то есть будем изучать операторы Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Сопряжённый оператор. Рассмотрим понятие оператора, сопряжённого к оператору Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , действующему в евклидовом пространстве Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Определение 9.1. Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – некоторый линейный оператор. Оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru называетсясопряжённым к оператору Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru, если Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru выполняется условие

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru (9.1)

Теорема 9.1. Для любого линейного оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru существует единственный сопряжённый оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , который также является линейным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru существует, докажем его единственность. Для этого предположим, что этот оператор не единственный, то есть существуют, например, два оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru и Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , удовлетворяющих определению 9.1. Тогда по формуле (9.1) имеем:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , (9.2)

откуда получаем

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . (9.3)

В силу того, что в определении 9.1 (в формуле (9.1)) вектор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru произволен, положим в равенстве (9.3)

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ,

получим

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Так как скалярное произведение удовлетворяет аксиоме невырожденности, из последнего равенства имеем

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ,

откуда в силу произвольности вектора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru следует, что Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru и единственность сопряжённого оператора доказана.

2) Докажем линейность сопряжённого оператора. Используя определение (9.1) и свойства скалярного произведения, получаем:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru и Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

а) Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ;

б) Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Из сравнения формул а) и б) следует линейность сопряжённого оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , а именно:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

3) Докажем теперь существование сопряжённого оператора. Зафиксируем в пространстве Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru канонический базис Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , и запишем векторы Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru и Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru в виде их разложений по каноническому базису:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ; Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . (9.4)

Рассмотрим вычисление левой и правой частей (9.1):

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ;

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Сравнивая два последних равенства с учётом (9.1), получаем:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . (9.5)

Итак, если матрица оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru имеет вид

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ,

то матрица сопряжённого оператора имеет вид

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . (9.6)

Из (9.6) следует, что матрица сопряжённого оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru в любом ортонормированном базисе Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru находится путем транспонирования матрицы оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , что и доказывает существование сопряжённого оператора. Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Докажем теорему о свойствах оператора, сопряжённого линейному оператору.

Теорема 9.2. Справедливы следующие свойства сопряжённого оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru : Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru и Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

1) Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ; 2) Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ;

3) Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ; 4) Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ; (9.7)

5) Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое соотношение. Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – произвольный линейный оператор. Для сопряжённого оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru сопряжённым будет оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Тогда: Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Последнее равенство выполняется при любом векторе Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , то есть,

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ,

откуда следует доказательство первого свойства.

Докажем второе соотношение. Для этого рассмотрим следующую цепочку преобразований:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

(9.8)

Из сравнения левой и правой частей равенства (9.8) следует доказательство второго свойства.

Остальные свойства доказываются аналогично. Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Самосопряжённые операторы. В приложениях большое значение имеют самосопряжённые операторы.

Определение 9.2. Линейный оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru называетсясамосопряжённым, если Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Из определения следует, что для самосопряжённого оператора справедливо соотношение

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . (9.9)

Так как матрица сопряжённого оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru равна транспонированной матрице оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , то у самосопряжённого оператора элементы матрицы удовлетворяют равенству Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , то естьэлементы матрицы самосопряжённого оператора, симметричные относительно главной диагонали, равны. Такая матрица называется симметрической. По этой причине самосопряжённые операторы Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru часто называютсясимметрическими.

Самосопряжённые операторы обладают рядом свойств, которые нетрудно доказать, используя определение и свойства сопряжённого оператора.

1. Единичный оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru является самосопряжённым.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

2. Сумма самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru и Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , то

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

3. Композиция самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором в том и только в том случае, если эти операторы коммутативны.

Д о к а з а т е л ь с т во. Напомним, что операторы называются коммутативными, если

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ,

или

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ,

где Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – нулевой оператор. Если Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , то

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ,

что равно Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru в том и только в том случае, если операторы коммутативны. Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

4. Оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , обратный к невырожденному самосопряжённому оператору Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru также самосопряжённый оператор.

Д о к а з а т е л ь с т во. Действительно, если Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , то

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

5. Если Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – самосопряжённый оператор, то произведение этого оператора на некоторое вещественное число Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru является самосопряжённым оператором.

Д о к а з а т е л ь с т во. Из третьего свойства (9.7), имеем:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Теорема 9.3. Собственные векторы самосопряжённого оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , действующего в пространстве Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , соответствующие попарно различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru : Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru и Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , причём Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Так как оператор самосопряжённый, то Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Поэтому в левой и правой частях, соответственно, имеем:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ;

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Откуда в силу Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru получаем: Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Для самосопряжённых операторов справедлива следующая важная теорема.

Теорема 9.4. Все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru вещественные и различные.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В общем случае доказательство теоремы достаточно громоздкое. По этой причине приведём доказательство для случая оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Итак, пусть дан некоторый линейный оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru с матрицей Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Тогда характеристическое уравнение этого оператора имеет вид:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Раскрывая определитель, получаем характеристическое уравнение:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Решение этого уравнения находим по известной формуле:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Дискриминант имеет вид:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Первое слагаемое, очевидно, всегда положительно, а второе положительно, так как Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Поэтому корни характеристического уравнения вещественные и различные. Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Теорема 9.5. Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – самосопряжённый оператор. Тогда в пространстве Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru можно выбрать ортонормированный базис

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

так, чтобы матрица оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru в этом базисе была диагональной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 9.4 все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора вещественные и различные, а следовательно, по теореме 9.3 собственные векторы самосопряжённого оператора взаимно ортогональны. Систему собственных векторов, очевидно, можно нормировать. Но тогда эти векторы образуют базис пространства Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , в котором оператор является оператором простой структуры, то есть имеет диагональную матрицу. Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Ортогональные операторы и их свойства, геометрическая интерпретация. Рассмотрим определение и свойства важного класса операторов, действующих в пространстве Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Определение 9.3. Оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , действующий в пространстве Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение, то есть

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru (9.10)

Из определения следует, что ортогональный оператор сохраняет нормы (длины) векторов и углы между ними.

Лемма 9.1. Оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru является ортогональным в том и только в том случае, если Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – ортогональный оператор. Тогда

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ,

откуда имеем: Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Полагая Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , получаем:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Тогда имеем:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Очевидно, что ортогональный оператор невырожден, то есть, его матрица имеет обратную матрицу.

Теорема 9.6 (о свойствах ортогональных операторов). Ортогональные операторы Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru обладают следующими свойствами:

1) единичный оператор является ортогональным;

2) композиция ортогональных операторов также является ортогональным оператором;

3) оператор, обратный ортогональному оператору, также является ортогональным;

4) если Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – ортогональный оператор, то оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru является ортогональным в том и только в том случае, если Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Доказательство этого свойства почти очевидно: Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

и

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

2. Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru и Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – ортогональные операторы. Тогда:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

3. Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ортогональный оператор. Рассмотрим Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru :

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

4. Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – ортогональный оператор. Тогда

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

и

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Теорема 9.7 (критерий ортогональности оператора). Оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , действующий в пространстве Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , является ортогональным в том и только в том случае, если он переводит хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный базис.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – ортогональный оператор. Тогда он, сохраняя скалярное произведение, переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис.

Пусть теперь оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru переводит ортонормированный базис

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

в новый ортонормированный базис

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Тогда Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

и

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Откуда

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Рассмотрим свойства матрицы ортогонального оператора.

Теорема 9.8. Система векторов-столбцов (строк) матрицы ортогонального оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru в любом ортонормированном базисе

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

является ортонормированной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – некоторый ортогональный оператор и Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – некоторый ортонормированный базис. По теореме 9.9 система образов базисных векторов сама является ортонормированной, то есть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Поэтому для столбцов матрицы оператора

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ,

(как векторов арифметического пространства Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ) имеем:

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . (9.11)

Аналогичное свойство справедливо и для строк матрицы Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru :

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru (9.12)

Теорема 9.9. Матрица ортогонального оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru в любом ортонормированном базисе удовлетворяет условию

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . (9.13)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru – ортогональный оператор. Так как матрицы операторов Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru и Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru связаны соотношениями

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru ,

откуда для матрицы оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru получаем (9.11).

Обратно, пусть выполнено соотношение (9.11). Тогда Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , откуда и следует, что оператор Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru является ортогональным. Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Определение 9.4. Матрица Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , для которой выполняется свойство(9.13), называется ортогональной. Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Приведём некоторые теоремы о свойствах ортогонального оператора.

Теорема 9.10. Собственные значения ортогонального оператора Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru действующий в пространстве Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , равны Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Тогда

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Так как по определению Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru , то Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Теорема 9.11. Определитель ортогональной матрицы Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru равен

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для ортогональной матрицы выполняется равенство Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Поэтому Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Тогда

Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru . Операторы в евклидовых пространствах - student2.ru

Наши рекомендации