Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru ,

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru , Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru , Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Дано:

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru , то есть требуется найти закон изменения тока. Это неоднородное дифференциальное уравнение. Если в правой части стоит 0, то однородное дифференциальное уравнение описывает замкнутую накоротко цепь. При этом энергия на конденсаторе и катушке быстро расходится через сопротивление Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Полное решение этого уравнения складывается из частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного. Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru (1), где Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru подлежат определению.

Продифференцируем уравнение (1) по Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru и запишем в виде:

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru . (2)

Найдём Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru и Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru :

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru ; Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Подставим эти уравнения в (1):

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Имеем синус и косинус разности:

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Для любого момента времени сумма коэффициентов Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru и Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru , тогда имеем систему:

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru

где в первом уравнении - коэффициенты при Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru , во втором - Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru . Решая данную систему, получаем:

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru (1), Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru (2).

Анализируя данное решение видно, что ток зависит от частоты.

Зависимость тока от частоты.

1) Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru - частота, при которой наступает резонанс (в данном случае ток максимален).

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru , Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Пусть Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru . Тогда из (1) получаем Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru - в этом случае знаменатель минимален и ток максимален.

Рассмотрим два крайних случая.

2) Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru (малые частоты) Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru т. е. с уменьшением частоты цепь начинает носить более ёмкостной характер (цепь ведёт себя как ёмкость). Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ruЗакон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

3) Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru То есть, Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ruЗакон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru (цепь ведёт себя как индуктивность).

Угол сдвига фаз.

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru

1) Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

2) Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

3) Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Построим векторную диаграмму:

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru При построении мы использовали соотношение Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru . Ток отстаёт от напряжения на индуктивности на Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru за счёт электромагнитной индукции. На конденсаторе напряжение отстаёт от тока на Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Резонанс напряжений.

В случае резонанса Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru . Ток одинаков, следовательно Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru , то есть Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru . При этом угол Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru равен 0. Векторная диаграмма для этого случая изображена слева.

На резонансе цепь ведёт себя, как на активном сопротивлении. Ток имеет максимальное значение:

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru ,

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru и Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru меняются в противофазе.

Напряжения на емкости и индуктивности на резонансной частоте не достигают своих максимальных значений.

Найдем частоты, при которых напряжения на емкости и индуктивности достигают своих максимальных значений.

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Напряжение будет максимально, когда будет минимально выражение под корнем. Следовательно:

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru ,

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru , то есть Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Следовательно, напряжение на конденсаторе достигает максимума при частоте, меньшей частоты резонанса.

Аналогично для катушки:

Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru , Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей - student2.ru .

Следовательно, напряжение на индуктивности достигает максимума при частоте, большей частоты резонанса.

Наши рекомендации