Закон Ома для последовательно соединенных RLC цепей
,
, , .
Дано:
.
, то есть требуется найти закон изменения тока. Это неоднородное дифференциальное уравнение. Если в правой части стоит 0, то однородное дифференциальное уравнение описывает замкнутую накоротко цепь. При этом энергия на конденсаторе и катушке быстро расходится через сопротивление .
Полное решение этого уравнения складывается из частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного. Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде (1), где подлежат определению.
Продифференцируем уравнение (1) по и запишем в виде:
. (2)
Найдём и :
; .
Подставим эти уравнения в (1):
.
Имеем синус и косинус разности:
.
Для любого момента времени сумма коэффициентов и , тогда имеем систему:
где в первом уравнении - коэффициенты при , во втором - . Решая данную систему, получаем:
(1), (2).
Анализируя данное решение видно, что ток зависит от частоты.
Зависимость тока от частоты.
1) .
- частота, при которой наступает резонанс (в данном случае ток максимален).
, .
Пусть . Тогда из (1) получаем - в этом случае знаменатель минимален и ток максимален.
Рассмотрим два крайних случая.
2) (малые частоты) т. е. с уменьшением частоты цепь начинает носить более ёмкостной характер (цепь ведёт себя как ёмкость). .
3) То есть, (цепь ведёт себя как индуктивность).
Угол сдвига фаз.
1) .
2) .
3) .
Построим векторную диаграмму:
При построении мы использовали соотношение . Ток отстаёт от напряжения на индуктивности на за счёт электромагнитной индукции. На конденсаторе напряжение отстаёт от тока на .
Резонанс напряжений.
В случае резонанса . Ток одинаков, следовательно , то есть . При этом угол равен 0. Векторная диаграмма для этого случая изображена слева.
На резонансе цепь ведёт себя, как на активном сопротивлении. Ток имеет максимальное значение:
,
и меняются в противофазе.
Напряжения на емкости и индуктивности на резонансной частоте не достигают своих максимальных значений.
Найдем частоты, при которых напряжения на емкости и индуктивности достигают своих максимальных значений.
.
Напряжение будет максимально, когда будет минимально выражение под корнем. Следовательно:
,
, то есть .
Следовательно, напряжение на конденсаторе достигает максимума при частоте, меньшей частоты резонанса.
Аналогично для катушки:
, .
Следовательно, напряжение на индуктивности достигает максимума при частоте, большей частоты резонанса.