Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях

Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Справочный материал

Частные производные 1 порядка функции нескольких переменных

Определение. Пусть функция z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М(x;y).

Частной производной функциив точке (x;y) по переменной x (по переменной y) называется конечный предел отношения частного приращения функции по переменной x (по переменной y) к приращению аргумента Dx (Dy) при стремлении последнего к нулю

Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru (1)

Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru . (1/)

Запись: z¢x, f ¢x, Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru , Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

у, f ¢у, Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru , Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru .

Замечание:

1.Частная производная функции двух переменных равна обычной производной функции одной переменной, полученной при условии, что вторая независимая переменная сохраняет постоянное значение.

2.Частные производные функции нескольких переменных по каждому из ее аргументов определяются при условии, что все остальные аргументы постоянные.

Дифференциалы функции нескольких переменных

Частные дифференциалы функции z=f(x;y)

dx z = z¢x dx = Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru dx - частный дифференциал функции z=f(x;y) по переменной x (2)

dу z = z¢у dу = Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru- частный дифференциал функции z=f(x;y) по переменной y (2/)

Полный дифференциал функции z=f(x;y)

dz = dx z + dу z или

dz = Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru dx + Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru dy (3)

Замечание:

1. Полный дифференциал функции нескольких переменных u=f(x; y; . . . ;t), если он существует, равен сумме всех ее частных дифференциалов

du = Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru dx + Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru dy + … + Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru dt(3/)

2. Для дифференциалов функции двух переменных сохраняются правила их вычисления, известные для дифференциалов функции одной переменной

Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru d(u ± v) = du ± dv

d(u×v) = vdu + udv

d( Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru )= Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru . Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях

Если Dz=f(x0 +Dx; y0 +Dy) – f(x;y) полное приращение функции z=f(x;y), то при достаточно малых Dx и Dy справедлива формула

Dz » dz (4)

Ввиду того, что вычисление полного дифференциала функции значительно проще вычисления ее полного приращения, то формулу (4) используют в приближенных вычислениях в виде:

f(xo +Dx; y0 +Dy) Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru f(x0; y0) + fx/(x0;y0)×Dx + fу/(x0;y0)×Dу (5)

где Dx=dx, Dу=dy – дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями

Задачи

1. Найти частные производные указанных функций.

1) z = x2 + 2y2 – 3xy – 4x + 2y + ln 5 2) z = (x3 +y3 – xy2)3 3) z = ln (x2 +2y3)

4) z = (1 + x2)y 5) z = arcsin Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru 6) u = Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru + Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru - Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

7) u = arctg Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru 8) u = ln Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru 9) u = (x×y) Z Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

10) z = x Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru + Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru 11) z = ln (x + Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru ) 12) z = (x - Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru )e-x Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru y

13) z = arcsin Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru 14) u = sin2(3x + 2y - z).

2. Вычислить значения частных производных функции в указанной точке

1) z = x + y + Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru M0 (3; 4)

2) z = cos (3x – 5y) M0 ( Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru ; 0)

3) z = ln (x2 – y2) M0 (2; -1)

4) u = ln (1 + x + y2 + z3) M0 (1;1; 1).

3. Проверить, что функция удовлетворяет уравнению

а) z = xln Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru x Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru + y Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru = z

б) z = xy Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

в) u = x + Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru = 1.

4. Найти частные и полные дифференциалы функций

а) z = 3x2y5

б) u = 2xyz

в) z = arccos Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

г) z = x3 + xy2 + x2y

д) u = sin2(xy2z3)

e) z = Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

ж) z = yln2x

з) u = Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

и) z = sin2y cos2x

5. Вычислить значение полного дифференциала функции:

а) z = arcctg Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru при x = 1; y = 3; dx = 0,01; dy = - 0,05

б) z = Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru при x = 2; y = 1; dx = - Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru ; dy = Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

в) u = Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru при перемещении точки М (x; y; z) из положения М0 (10; - 10; 5) в М1 (9; - 11; 6).

6. Вычислить приближенное значение выражения, исходя из значения функции в точке М0, и заменяя ее приращение дифференциалом:

а) 1,942 е0,12 б) sin1,59 tg3,09 в) 2,68sin0,05

z = x2ey, M0 (2; 0) z = sinx tgy, M0 ( Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru ; Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru ) z = xsin y , M0 (е; 0).

7. Вычислить приближенное значение выражения:

а) (1,02)3 × (0,97)3 б) Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru в) 1,083,96 г) Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях - student2.ru

Наши рекомендации