Понятие производной, ее свойства

Число: 2082

Пусть Понятие производной, ее свойства - student2.ru задана на интервале Понятие производной, ее свойства - student2.ru . Возьмем некоторую точку Понятие производной, ее свойства - student2.ru и придадим ей приращение Понятие производной, ее свойства - student2.ru так, чтобы Понятие производной, ее свойства - student2.ru . Если существует конечный предел Понятие производной, ее свойства - student2.ru , то его называют производной функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru в точке Понятие производной, ее свойства - student2.ru . Если такой предел существует в каждой точке Понятие производной, ее свойства - student2.ru , то он называется производной от функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru на Понятие производной, ее свойства - student2.ru . Операция нахождения производной от функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru называется дифференцированием.

Для обозначения производной в точке Понятие производной, ее свойства - student2.ru используются символы:

Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Правила дифференцирования.

1. Если функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru и Понятие производной, ее свойства - student2.ru дифференцируемы в точке Понятие производной, ее свойства - student2.ru , то в точке Понятие производной, ее свойства - student2.ru дифференцируемы Понятие производной, ее свойства - student2.ru функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru , Понятие производной, ее свойства - student2.ru , Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru , Понятие производной, ее свойства - student2.ru , Понятие производной, ее свойства - student2.ru и справедливы формулы:

§ Понятие производной, ее свойства - student2.ru ;

§ Понятие производной, ее свойства - student2.ru ;

§ Понятие производной, ее свойства - student2.ru ;

§ Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

2. Производная сложной функции: если Понятие производной, ее свойства - student2.ru дифференцируема в точке Понятие производной, ее свойства - student2.ru , то сложная функция Понятие производной, ее свойства - student2.ru дифференцируема в точке Понятие производной, ее свойства - student2.ru и справедлива формула:

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ,

т.е. производная сложной функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru равна произведению производной внешней функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru на производную внутренней функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Замечание. Правило нахождения производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например, для вычисления производной функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru , если Понятие производной, ее свойства - student2.ru , Понятие производной, ее свойства - student2.ru , Понятие производной, ее свойства - student2.ru дифференцируемы, справедлива формула:

Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Приведем таблицу производных основных элементарных функций:

Функция Понятие производной, ее свойства - student2.ru Производная Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru , Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru , Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru
Понятие производной, ее свойства - student2.ru Понятие производной, ее свойства - student2.ru

Рассмотрим решение примеров.

Пример № 1.

Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Решение.

Пользуясь таблицей производных и свойствами производных, имеем:

Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Пример № 2.

Найти производную Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Решение.

Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Пример № 3.

Найти производную Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Решение.

Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Пример № 4.

Найти производную Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Решение. Так как функция Понятие производной, ее свойства - student2.ru является сложной вида Понятие производной, ее свойства - student2.ru , где Понятие производной, ее свойства - student2.ru , Понятие производной, ее свойства - student2.ru , то имеем:

Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Пример № 5.

Найти производную Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Решение.

Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Производные высших порядков

Пусть функция Понятие производной, ее свойства - student2.ru задана на Понятие производной, ее свойства - student2.ru и в каждой точке Понятие производной, ее свойства - student2.ru существует Понятие производной, ее свойства - student2.ru . Тогда мы имеем новую функцию Понятие производной, ее свойства - student2.ru , заданную на Понятие производной, ее свойства - student2.ru , называемую производной функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru . Значит, имеет смысл говорить о производной функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru , то есть о Понятие производной, ее свойства - student2.ru или о второй производной от функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru , которая обозначается Понятие производной, ее свойства - student2.ru , Понятие производной, ее свойства - student2.ru , Понятие производной, ее свойства - student2.ru . И, обобщая данную ситуацию, можно сказать, что производной Понятие производной, ее свойства - student2.ru -го порядка от функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru называется производная от Понятие производной, ее свойства - student2.ru -ой производной функции Понятие производной, ее свойства - student2.ru :

Понятие производной, ее свойства - student2.ru , Понятие производной, ее свойства - student2.ru

Дифференцирование некоторых функций

Дифференцирование неявных функций.

Пусть уравнение Понятие производной, ее свойства - student2.ru определяет Понятие производной, ее свойства - student2.ru как неявную функцию от Понятие производной, ее свойства - student2.ru . В дальнейшем будем считать эту функцию дифференцируемой.

Продифференцировав по Понятие производной, ее свойства - student2.ru обе части уравнения Понятие производной, ее свойства - student2.ru , получим уравнение первой степени относительно Понятие производной, ее свойства - student2.ru . Из этого уравнения легко находится Понятие производной, ее свойства - student2.ru , т.е. производная неявной функции.

Пример № 1.

Найти производную Понятие производной, ее свойства - student2.ru из уравнения Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Решение.

Так как Понятие производной, ее свойства - student2.ru является функцией от Понятие производной, ее свойства - student2.ru , то будем рассматривать Понятие производной, ее свойства - student2.ru как сложную функцию от Понятие производной, ее свойства - student2.ru . Следовательно, Понятие производной, ее свойства - student2.ru . Продифференцировав по Понятие производной, ее свойства - student2.ru обе части данного уравнения, получим: Понятие производной, ее свойства - student2.ru , т.е. Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Пример № 2.

Найти производную Понятие производной, ее свойства - student2.ru из уравнения Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Решение.

Дифференцируя по Понятие производной, ее свойства - student2.ru обе части уравнения, получим:

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ,

т.е. Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Перенесём в одну сторону равенства все слагаемые, содержащие Понятие производной, ее свойства - student2.ru , тогда:

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ,

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ,

Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Дифференцирование степенно-показательной функции: Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Чтобы вычислить производную данной функции применятся специальный прием: предварительно прологарифмируем данное равенство по основанию Понятие производной, ее свойства - student2.ru , а затем продифференцируем по аргументу Понятие производной, ее свойства - student2.ru , учитывая, что функция Понятие производной, ее свойства - student2.ru сложная.

Пример № 3.

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ;

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ;

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ;

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ;

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ;

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ;

наконец: Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Замечание. Способ дифференцирования функции предварительным логарифмированием также эффективен при нахождении производной функции, являющейся произведением или частным нескольких функций.

Пример № 4.

Найти производную Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию Понятие производной, ее свойства - student2.ru :

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ; Понятие производной, ее свойства - student2.ru ; Понятие производной, ее свойства - student2.ru ;

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ; Понятие производной, ее свойства - student2.ru ;

Понятие производной, ее свойства - student2.ru ;

Понятие производной, ее свойства - student2.ru .

Наши рекомендации