Идея метода конечных разностей (метода сеток) известна давно, с соответствующих трудов Эйлера. Однако практическое применение этого метода было тогда весьма ограничено из-за огромного объема ручных вычислений, связанных с размерностью получаемых систем алгебраических уравнений, на решение которых требовались годы. В настоящее время, с появлением быстродействующих компьютеров, ситуация в корне изменилась. Этот метод стал удобен для практического использования и является одним из наиболее эффективных при решении различных задач математической физики. Основная идея метода конечных разностей (метода сеток) для приближенного численного решения краевой задачи для двумерного дифференциального уравнения в частных производных состоит в том, что 1) на плоскости в области А, в которой ищется решение, строится сеточная область Аs (рис.1), состоящая из одинаковых ячеек размером s ( s – шаг сетки) и являющаяся приближением данной области А; 2) заданное дифференциальное уравнение в частных производных заменяется в узлах сетки Аs соответствующим конечно-разностным уравнением; 3) с учетом граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области Аs .  Рис. 1. Построение сеточной области Решая полученную систему конечно-разностных алгебраических уравнений, получим значения искомой функции в узлах сетки Аs , т.е. приближенное численное решение краевой задачи. Выбор сеточной области Аs зависит от конкретной задачи, но всегда надо стремиться к тому, чтобы контур сеточной области Аs наилучшим образом аппроксимировал контур области А. Рассмотрим уравнение Лапласа  (1) где p ( x, y ) – искомая функция, x, y – прямоугольные координаты плоской области и получим соответствующее ему конечно-разностное уравнение. Заменим частные производные  и  в уравнении (1) конечно-разностными отношениями:   Тогда решая уравнение (1) относительно p ( x, y ), получим:  (2) Задав значения функции p ( x, y ) в граничных узлах контура сеточной области Аs в соответствии с граничными условиями и решая полученную систему уравнений (2) для каждого узла сетки, получим численное решение краевой задачи (1) в заданной области А. Ясно, что число уравнений вида (2) равно количеству узлов сеточной области Аs, и чем больше узлов (т.е. чем мельче сетка), тем меньше погрешность вычислений. Однако надо помнить, что с уменьшением шага s возрастает размерность системы уравнений и следовательно, время решения. Поэтому сначала рекомендуется выполнить пробные вычисления с достаточно крупным шагом s , оценить полученную погрешность вычислений, и лишь затем перейти к более мелкой сетке во всей области или в какой-то ее части. |
Наши рекомендации
