Примітивні елементи скінченного поля

Примітивним елементом поля називається такий елемент , що всі ненульові елементи поля можна зобразити у вигляді степеня елемента .

Приклад 7. 1) Всі ненульові елементи поля зображені у вигляді степенів елемента .

2) Примітивним елементом скінченного поля є 2, тому що

, , , .

Примітивні елементи скінченного поля за простим розглядалися раніше в теорії чисел під назвою первісних коренів за модулем .

Означення. Порядком елемента скінченного поля називається найменше натуральне число з умовою . Позначається .

Якщо – елемент порядку мультиплікативної групи поля , то

1) ;

2) є дільником числа ;

3) або .

Зауваження. Якщо – просте число, то елемент поля можна розглядати як клас лишків кільця цілих чисел за простим модулем , представником якого є елемент . Тоді умова рівносильна умові , через що порядок будь-якого елемента мультиплікативної групи поля дорівнює показнику, якому належить ціле число за простим модулем .

Приклад 8. Визначити порядки елементів скінченого поля .

Розв’язання. Порядок елемента поля є дільником числа , тобто прядки елементів містяться серед чисел 1,2,3,6.

Для елемента 2:

, , ,

отже .

Для елемента 3:

, , ,

, ,

отже .

Для елемента 4:

, , ,

отже .

Для елемента 5:

, , ,

, ,

отже .

Для елемента 6:

, ,

отже .

Для будь-якого ненульового елемента порядку з поля виконуються наступні твердження:

1. Якщо , то , .

2. Елементи поля всі різні.

3. Елементи поля являють собою всі корені многочлена .

4. Порядок елемента , , дорівнює ( – НСД чисел і ). Зокрема, якщо , то .

5. Число всіх елементів поля , порядок яких збігається з порядком елемента , дорівнює значенню функції Ейлера .

Важливі властивості мультиплікативної групи поля сформулюємо у вигляді наступних теорем.

Теорема. Якщо – ненульові елементи поля , то

.

Доведення. Нехай – довільний елемент мультиплікативної групи поля , – порядок цього елемента. Тоді за теоремою Лагранжа (Порядок скінченої групи ділиться на порядок кожної своєї підгрупи) ділить число , тобто . Отже, і дійсно є коренем многочлена .□

Теорема (про мультиплікативну групу поля ). Мультиплікативна група ненульових елементів поля є циклічною.

Доведення. Розглянемо випадок . Порядок групи дорівнює . Якщо число розкладено на прості множники , то для кожного , у полі многочлен має не більше коренів. А оскільки , то у полі існують ненульові елементи, які не є коренями цього многочлена. Нехай – саме такий елемент поля. Покладемо . В такому разі , а тому порядок елемента є дільником числа і через це має вигляд , де . З іншого боку і порядок елемента дорівнює .

Покажемо тепер, що елемент має порядок . Припустимо супротивне. Нехай додатково порядок елемента – власний дільник числа , а значить, і дільник принаймні одного з цілих чисел , . Тоді

.

Тепер, якщо , то ділить число . Звідси , тобто порядок елемента повинен ділити число , що неможливо, оскільки він дорівнює .

Отже, – циклічна група з твірним елементом .□

Теорема (про примітивний елемент поля ). В кожному полі Галуа існує примітивний елемент.

Доведення. Оскільки всі ненульові елементи поля Галуа утворюють циклічну групу , то серед них існує елемент порядку , який є примітивним. □

З останньої теореми випливає, що примітивним елементом поля є твірний елемент циклічної групи .