Линейные операторы и функционалы в пространстве финитных функций

Финитные функции.

Пусть - пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на всей числовой оси.

Опр.Функция наз-ся финитной слева, если сущ-т такое число a, что для всех имеем . Совокупность всех финитных слева функций обозначается . Свойства финитных слева функций:

1. Произведение любого числа и финитной слева функции является финитной слева функцией, то есть если – произвольное число и , то

2. Сумма конечного числа финитных слева функций является финитной слева функцией, то есть если , то

3. Произведение конечного числа бесконечно дифференцируемых функций, одна из которых финитна слева, является финитной слева функцией, то есть если и существует такое , что , то

4. Из свойств 1 и 2 следует, что - векторное пространство пространства , и тогда из свойства 3 получаем, что - подалгебра алгебры

Пример: . График: Докажем что - бесконечно дифференцируема. Для этого достаточно показать, что она бесконечно дифференцируема в точке . Имеем и и, следовательно, функция непрерывна. Далее имеем: и применяя правило Лопиталя, получим и , то ф-ция дифференцируема в точке , причём . Дифференцируя ф-цию при несколько раз, можно прийти в заключению, что её -ая производная выражается формулой: , где полином степени .

Из формулы (1) следует, что при и при , то сущ-т -ая производная функции в точке для любого натурального числа , то есть функция бесконечно дифференцируема в точке , что и требовалось доказать. Опр.Функция наз-ся финитной справа, если сущ-т такое число , что для всех имеем . Обозначается . Множество финитных справа функций обладает теме же свойствами, что и множество финитных слева функций. Пример финитной справа функции: . График:

Опр.Функция наз-ся финитной, если она финитна слева и финитна справа, то есть сущ-т такие числа , что для всех Опр.Функция наз-ся финитной, если сущ-т такой отрезок , вне которого функция обращается(тождественно) в нуль, то есть для всех Опр.Функция наз-ся финитной, если сущ-т такое ограниченное множество на числовой оси, вне которого функция обращается в нуль.Финитная функция обозначается .Носителем функции называется замыкание множества тех точек числовой прямой,в которых функция не обращается в нуль. Обозначения носителя функции х: supp x. Примеры:1.supp

Критерий финитности функций. Пусть . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Для того чтобы функция х была финитной слева, необходимо и достаточно чтобы её носитель был ограничен слева, т.е.

2. Для того чтобы функция х была финитной справа, необходимо и достаточно чтобы её носитель был ограничен справа, т.е.

3. Для того чтобы функция х была финитной, необходимо и достаточно чтобы её носитель был компактным множеством.

Свертка финитных функций

При умножении двух функций, представл. рядами Лорана

и

получаем произведение функций, также представляемое рядом Лорана , коэффициенты которого связаны с коэффициентами и следующим образом:

(1)

Последовательность , определяемая формулой (1), называется свёрткой последовательностей и .

Рассмотрим две функции, представленные в виде интегралов Лапласа

,

Перемножая эти функции и проводя формальные преобразова­ния, получаем

,

где , ( )(2)

Функция , определенная формулой (2), называется сверткой функций и и обозначается .

Бинарная операция называется операцией свертки, или про­сто сверткой.Заменой переменных в правой части формулы (2) получим , ( ) (3)

откуда следует, что .Из равенств и имеем .Это означает, что свертка коммутативна.

Свертка также обладает, как легко следует из линейности инте­грала, следующими алгебраическими свойствами:

1)

2) ;

Свойство 1) называется линейностью свертки по первому аргу­менту, а свойство 2) - линейностью по второму аргументу.

Бинарная операция, обладающая свойствами 1) и 2), называется билинейной. Таким образом, свертка билинейна.

Теорема 1 (о свертке финитных слева функций). Пусть , - финитные слева функции. Тогда:1) свертка , существует и является финитной слева функцией, причем, если и , то ;

2) для любого натурального числа справедливо равенство .

Следствие. Векторное пространство относительно введен­ной операции свертки является коммутативной алгеброй.

В этом случае мы будем говорить, что - сверточная алгебра.

Обозначим через множество всех финитных слева функций, носители которых содержатся на замкнутой полуоси . Тогда, как следует из теоремы, - подалгебра сверточной алгебры .

Теорема 2(о свертке финитных справа функций). Пусть - финитные справа функции. Тогда

1) свертка существует и является финитной справа
функцией, причем, если и

, то .

2) для любого натурального числа m справедливо равенство .

Следствие. - сверточная алгебра.

Обозначим через множество всех финитных справа функций, носители которых содержатся на замкнутой полуоси . Тогда, как следует из теоремы, - подалгебра сверточной алгебры .

Теорема 3 (о свертке финитных функций). Пусть - финитные функции. Тогда

1) свертка существует и является финитной функцией, причем, если и , то

2) для любого натурального числа справедливо равенство

.

Следствие. - сверточная алгебра.

Таким образом, , , являются одновременно и мульти­пликативными алгебрами, и сверточными алгебрами.

Линейные операторы и функционалы в пространстве финитных функций.

Сформулируем необходимое и достаточное условие непрерывности линейного функционала на пространстве .

Теорема 1 (критерий непрерывности линейного функционала на пространстве ).

Линейный функционал на пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен на любом подпространстве .

Доказательство. Пусть f— линейный функционал на пространстве . В силу определения функционал f непрерывен тогда и только тогда, когда .

Тогда, используя определение полинормы в пространстве , преднорма тогда и только тогда, когда сужение преднормы на любом подпространстве принадлежит .

Но сужение преднормы на подпространство совпадает с модулем функционала, который является сужением функционала f на подпространстве .

Таким образом, преднорма тогда и только тогда, когда

сужение функционала f на любое подпространство непрерыв­но, т.е. функционал f непрерывен тогда и только тогда, когда его сужение на любое подпространство непрерывно, что и требовалось доказать.

Теорема 2 (критерий непрерывности линейного оператора, определенного на пространстве ).

Линейный оператор, отображающий в полинормированное пространство, непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен на любом подпространстве .

В качестве примера применения теоремы 2 рассмот­рим оператор дифференцирования , определенный на всем пространстве следующим образом: .

Очевидно, что — линейный оператор, отображающий про­странство в пространство . Докажем его непрерывность. Зафиксируем и рассмотрим сужение оператора на подпространстве .

Тогда для любого и любого имеем: ,

откуда следует, что — непрерывный оператор, действующий в . Следовательно, применяя теорему, получим, что оператор является непрерывным оператором из в .

Теорема 3 (секвенциальный критерий непрерывности линейного функционала на пространстве ).

Линейный функционал f на пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности , сходя­щейся к нулю в пространстве , числовая последовательность сходится к нулю.

Теорема 4 (секвенциальный критерий непрерывности линейного оператора, определенного на ),Пусть Y - полинормированное пространство.Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности из , сходящейся к нулю в пространстве , последовательность сходится к нулю в пространстве .

Теорема 5 (o непрерывности ограниченного линейного оператора на пространстве ).Пусть полинормированное пространство.

Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда онограничен.

Следствие (o непрерывности ограниченного функционала на пространстве ).

Линейный функционал на пространстве непрерывен тогда и ТОЛЬКО тогда, когда он ограничен.

Непрерывные линейные функционалы на пространстве в тео­рии обобщенных функций называются обобщенными функциями.

Теорема 6(об эквивалентных условиях непрерывности линей­ного функционала на пространстве ).

Пусть –линейный функционал на пространстве .

Следующие условия эквивалентны:

1) f непрерывен;

2) f непрерывен на любом подпространстве ;

3) для любой последовательности , сходящейся к нулю в пространстве , числовая последовательность сходится к нулю;

4) f ограничен.