Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница

8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница

Для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке [a;b]функции f(x) в том случае, когда может быть найдена ее первообразная F(x)служит формула Ньютона-Лейбница:

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ,

т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При интегрировании четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования используют формулу

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Пример. Вычислить определенные интегралы.

1) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

2) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

8.2.2. Метод подстановки

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (метод подстановки) данный интеграл преобразуется с помощью подстановки t=y(x) или x=j(t) в определенный интеграл относительно новой переменной интегрирования t. При этом старые пределы интегрирования a, b заменяются новыми переделами интегрирования aи bсоответственно, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: a=y(a), b=y(b). Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений j(a)=a, j(b)=bотносительно a и b.

Таким образом, имеем

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Здесь предполагается, что функции j(t)и j΄(t) непрерывны на отрезке [a; b], а функция f(j(t)) определена и непрерывна на отрезке a£ t£ b.

Пример. Вычислим методом подстановки интеграл Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Решение. Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки t=2x–1. Дифференцируя, получим dt=2dx, откуда dx=dt/2. Находим новые пределы интегрирования: подставляем в соотношение t=2x–1значения x=2, х=3. Тогда получим α=3, β=5. Следовательно,

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

В дальнейшем при решении методом подстановки будем использовать форму записи как в неопределенном интеграле, используя вертикальные скобки.

8.2.3. Интегрирование по частям

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то для вычисления определенного интеграла используют формулу Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru , которая называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример. Вычислить интеграл Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Решение. Положим Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru Тогда Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru По формуле интегрирования по частям имеем

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Примеры

№1. Используя формулу Ньютона-Лейбница, найти интегралы:

а) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

б) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

в) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

г) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Решение.

а) Для нахождения первообразной проведем преобразования, чтобы получить табличный интеграл (в подкоренном выражении выделим полный квадрат):

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

б) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

в) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

г) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

№2. Вычислить интегралы методом подстановки:

а) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

б) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

в) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

г) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Решение.

а) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

б) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

в) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

г) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

№3. Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:

а) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

б) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Решение.

а) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

б) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru

Варианты заданий

№8.1. Вычислить интегралы по формуле Ньютона-Лейбница:

а) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

б) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

в) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

г) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

д) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

е) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

ж) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

з) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

и) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

к) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

л) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

м) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

н) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

о) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

№8.2. Вычислить интегралы методом подстановки:

а) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

б) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

в) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

г) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

д) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

е) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

ж) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

з) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

и) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

№8.3. Вычислить интегралыинтегрированием по частям:

а) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

б) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

в) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

г) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

д) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

е) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

ж) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

з) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

и) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru ;

к) Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница - student2.ru .

Наши рекомендации