Расчет неразрезных балок. Уравнение трех моментов

Неразрезные балки. Общие сведения о неразрезных балках

Неразрезной балкой называется статически неопределимая сплошная балка, имеющая более двух опор и, следовательно, перекрывающая не менее двух пролетов. Если балка своими концами опирается на шарнирные опоры, то она называется простой неразрезной; если балка имеет консоли —консольно-неразрезной и, наконец, если балка имеет по концам защемления – неразрезной балкой с одним или двумя защемлениями.

Степень статической неопределимости может быть найдена по общим правилам. Однако для неразрезных балок более удобна формула:

n= С_оп —3,

где С_оп — число опорных связей (не опор).

Если балка имеет более одной неподвижной опоры, то при вертикальной нагрузке и внешних сосредоточенных моментах, когда внутренние силы определяются по недеформированному состоянию, горизонтальные реакции неподвижных опор равны нулю. В таких случаях количество основных неизвестных, отличных от нуля, равно:

n* = С_пром + П ≤ n,

где С_пром — количество промежуточных шарнирных опор (не связей);

П – количество защемлений, неподвижных или подвижных, на концах балки.

Эта формула дает число неизвестных, отличных от нуля, при вертикальной нагрузке и сосредоточенных моментах только в случае, если балка имеет одну неподвижную шарнирную опору или одно неподвижное защемление, а остальные опоры и второе защемление подвижные. Если вводить в балку шарниры, то каждый шарнир уменьшает степень неопределимости на единицу.

Расчет неразрезных балок. Уравнение трех моментов

Расчет неразрезной балки (рис. 1, а) можно выполнить, как и любой статически неопределимой системы, методом сил. Основную систему для расчета неразрезной балки получим, удалив из нее связи, препятствующие взаимному повороту смежных сечений балки над ее опорами, т.е. поместив шарниры в опорных сечениях балки (рис. 1, б).

Условимся нумеровать пролеты заданной балки слева направо. Правую опору каждого пролета и неизвестный опорный момент над ней будем обозначать буквами с индексами (номерами) этого пролета. Нетрудно убедиться, что в основной системе любой момент М_i =1 деформирует только два смежных пролета по обе стороны от опоры, где он приложен, и вызывает перемещения только по направлению основных неизвестных М_i-1, M_i и M_i+1.

Уравнение трех моментов и все следствия из него могут быть применены также при расчете однопролетных статически неопределимых балок.

При определении коэффициентов и свободных членов будем пренебрегать в формуле перемещений поперечными силами.

Рис. 1

Неизвестными являются изгибающие моменты, возникающие в сечении неразрезной балки над опорами.

Выделим из основной системы четыре примыкающих друг к другу пролета со средней опорой номером n и построим единичные и грузовые эпюры. Из анализа единичных эпюр видно, что в любом каноническом уравнении только три единичных коэффициента будут отличны от нуля. Напишем одно из канонических уравнений в общем виде:

δ_{n ,n-1} X_{n ,n-1} + δ_{n ,n} X_n + δ_{n, n+1} X_n,n+1 + Δ_n,p= 0

Подсчитаем единичные и грузовые коэффициенты, применяя правило Верещагина «перемножения» эпюр:

δ_{n ,n-1} = = ;

δ_{n ,n} = + = 2 ;

δ_{n ,n+1} = = ;

Δ_n,P = + .

В случае балки постоянного сечения I₁ = I₂ = … =I_n = I_n+1 и введя обозначения X_n-1 = M_n-1; X_n = M_n; X_n+1 = M_n+1, получим

M_n-1l_n-1 + 2M_n (l_n+l_n+1) + M_n+1l_n+1 = – .

Это и есть уравнение трех моментов для неразрезной балки постоянного сечения. В этом урав­нении неизвестными являются из­гибающие моменты на опорах. Если у неразрезной балки все опоры шар­нирные, то таких уравнений можно составить столько, сколько у балки промежуточных опор.

При наличии на концах балки нагруженных консолей, изгибающие моменты на крайних опорах войдут в уравнение трех моментов, как из­вестные величины, а при отсутствии консолей эти моменты будут равны 0.

Если конец неразрезной балки защемлен, то для применения уравнения трех моментов необходимо, отбросив заделку, ввести с ее стороны дополнительный пролет l₀= 0. Такая система будет де­формироваться так же, как балка с жесткой заделкой.

Решая совместно, составленные таким образом уравнения, най­дем все неизвестные изгибающие моменты на опорах. Далее для построения эпюр M и Q, каждый пролет неразрезной балки рассматриваем как балку на двух шарнирных опорах, загруженных внешней нагрузкой и двумя опорными моментами. Ординаты эпюр могут быть подсчитаны по формуле:

М = М_р⁰ + М_n-1 + M_n ,

где М_р⁰ и Q_р⁰ – ординаты эпюр M и Q от внешней нагрузки в основной системе.

Чтобы убедиться в правильности построения эпюр M и Q необходимо провести проверку равновесия неразрезной балки по уравнениям: Sу = 0; Sх = 0.

Для этого следует определить вертикальные опорные реакции неразрезной балки, используя эпюру Q:

R_n = Q_n^прав. – Q_n^лев.