Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Получена неопределенность вида Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru , которую нужно устранять.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru
И смотрим на наш предел: Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru
Что можно сказать? Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru :

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru :

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Неопределенность Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Готово.

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Пример 7

Найти предел Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Разложим числитель на множители:
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Приведем без доказательства основные теоремы о пределах функций. Эти теоремы вполне аналогичны тем, которые мы рассматривали (также без доказательства) ранее при изучении пределов числовых последовательностей.

1. Предел константы равен самой этой константе:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru с = с.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru [ k • f (х)] = k • Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru f (х).

3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru [ f (х) ± g (х)] = Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru f (х) ± Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru g (x).

4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru [ f (х) • g (х)] = Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru f (х) • Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru g (x).

5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение - student2.ru

Наши рекомендации