Умножение и деление на сопряженное выражение

Примеры:

1. Найти Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Решение:

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru - неопределенность, для раскрытия её требуется домножить на сопряжённое выражение, т.е :

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru Вычислим предел: Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Ответ: 0.

2. Найти Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Решение:

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru - неопределенность, для раскрытия её необходимо домножить на сопряженное выражение:

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Вычислим предел:

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru - неопределенность, для её раскрытия необходимо сократить дробь на наивысшую степень переменной x:

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Вычислим предел:

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Ответ: Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

3.3. Неопределенность вида Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Деление на наибольшую степень

Предел отношения двух многочленов (при условии, что аргумент стремится к ∞) равен пределу отношения их старших членов.

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Примеры:

1. найти Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Решение:

Имеем неопределённость вида Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru . Для раскрытия неопределённости разделим почленно числитель и знаменатель на наивысшую степень x, т.е. на x3, предварительно раскрыв скобки.

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Ответ: Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

2. Найти Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Решение:

Имеем неопределённость вида Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru . Для раскрытия неопределённости разделим почленно

числитель и знаменатель на наивысшую степень x, т.е. на x4 .

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru Ответ: Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Замена переменной

Пример:

Найти Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Решение:

Имеем неопределённость вида Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru . Для раскрытия неопределённости сделаем замену x=−t (t=-x, t→+∞ при x→−∞), а затем разделим почленно числитель и знаменатель на наивысшую степень t, т.е. на t5.

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru Ответ: Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

3.4. Неопределенность вида Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Применение второго замечательного предела

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru ; Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Пример:

Найти Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Решение:

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru - неопределенность.

Т.к Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru , то неопределенность вида Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru .

Для ее раскрытия применим 2-й замечательный предел: Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

а) Выделим из дроби Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru целую часть:

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

а) заменим Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru , чтобы дробь Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru приняла вид Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

в) для выражения предела А через новую переменную «n» необходимо найти (2x-2) и выяснить к какому значению стремится «n»:

Т.к Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru , то 2x-1=6n и Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

2x=6n+1

2x-2=6n+1-2

2x-2=6n-1

Т.к Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru , то n Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Т.о Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

г) Разложим данный предел по свойствам предела и степени:

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru и вычислим предел

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Ответ: Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

3.5. Неопределенность вида Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Сведение данной неопределенности с помощью равносильных преобразований к неопределенностям вида Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru или Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru .

Пример.

Найти Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Решение:

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Применим правило Лопиталя

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Ответ. Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

IV. АСИМПТОТЫ КРИВОЙ

Прямая называется асимптотой кривой y=f(x), если расстояние от точки М(x;y) до этой прямой стремится к 0 при стремлении хотя бы одной из координат к ∞

Вертикальные асимптоты.

График функции Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru при Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru имеет вертикальную асимптоту, если Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru или Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru ; при этом точка Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru есть точка разрыва II-го рода. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru .

Горизонтальные асимптоты.

График функции Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru при Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru или при Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru имеет горизонтальную асимптоту, если Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru или Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru . Может оказаться, что либо только один из этих пределов конечный, либо ни одного. Тогда график имеет или одну горизонтальную асимптоту, или ни одной. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru (рис. 9).

Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru

Рис. 9. Графики функций, имеющие горизонтальные асимптоты

Наклонные асимптоты.

Если существуют пределы Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru и Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru , то прямая y=kx+b является наклонной асимптотой кривой при указанном стремлении x. При x→ Умножение и деление на сопряженное выражение - student2.ru асимптоты могут быть различны.

Наши рекомендации