Жазықтықтағы және кеңістіктегі нүктелердің координаталары.

АШЫҚ ДӘРІС САБАҒЫ

Пән: «Аналитикалық геометрия»

Тақырыбы:«Декартты координаталар жүйесі. Вектордың координаталар арқылы анықталуы»

Мамандық: 5В010900 – Математика, 1 курс, Ф-101, 102 оқу топтары

Оқытушы: Билялова Жұпар Тәренқызы- п.ғ.к., доцент

Уақыты: 10 ақпан, 2014 жыл, сағат 9.30 ауд. 303

5В010900 – Математика мамандығының 1 курс Ф-101, 102 топтарында өткізілген ашық лекция сабағы (ауд. №303, 10.02.2014)

Тақырыбы:«Декарттық координаталар жүйесі. Вектордың координаталар арқылы анықталуы»

Жоспары:

1. Жазықтықтағы және кеңістіктегі нүктелердің координаталары.

2. Вектордың оське проекциясы. Кеңістіктегі тік бұрышты декарттық координаталар жүйесіндегі вектордың координаталары.

3. Координаталары арқылы берілген векторларға сызықтық амалдарды қолдану. Векторлардың коллинеарлық шарты.

Мақсаты:

- Жазықтықтағы және кеңістіктегі нүктелердің координаталары ұғымдарын енгізу және координаталар жүйесін құрудың жолын ұғындыру.

- Ортонормаланған базис және тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі ұғымдарының байланысын ашып көрсету.

- Вектордың оське проекциясы, бағыттаушы косинустар, т.б. ұғымдарды меңгерту.

- Аналитикалық геометрияның қарапайым есептерін шығару формулаларымен таныстыру.

Әдебиеттер:

1. Буров А.Н., Соснина Э.Г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. – 185с.

2. Айдос Е.Ж. Жоғары математика-1. Алматы: «Бастау», 2010. 1-кітап. – 225 б.

3.Хасеинов К.А.Математика канондары. Алматы: «Атамұра», 2004. – 691 б.

Сабақтың өту барысы:

1. Ұйымдастыру.

2. Өткен материалдар бойынша қайталау, студенттердің дайындығын тексеру

(сұрақ-жауап әдісімен).

3. Лекция тақырыбын талдап, ашу.

4. СӨЖ тапсырмаларын беру.

5. Тақырыпты қорытындылау.

1.Ұйымдастыру. Студенттерді түгелдеу, оларды сабақтың тақырыбымен, жоспарымен таныстыру.

2. Өткен материалдар бойынша білімді тексеру (сұрақ-жауап әдісімен).

1) векторлар жүйесінің сызықтық комбинациясының анықтамасы.

2) Сызықтық тәуелді векторлар жүйесінің анықтамасы.

3) Екі векторлы жүйе тәуелді болу үшін векторлар қандай болуы тиіс? ( -коллинеар векторлар) .

4) Үш векторлы жүйе тәуелді болу үшін векторлар қандай болуы тиіс? ( -компланар).

5) Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің анықтамасы.

6) Базистің анықтамасы.

7) Вектордың базис бойынша жіктелуі туралы теорема..

8) Вектордың базис бойынша жіктелуінен оның координаталары туралы не айтуға болады?

9) Кеңістіктің өлшемділігі дегенді қалай түсінеміз (анықтамасы)?

3. Лекция тақырыбы: «Декарттық координаталар жүйесі. Вектордың координаталар арқылы анықталуы»

Жазықтықтағы және кеңістіктегі нүктелердің координаталары.

Аналитикалық геометрияның негізгі әдісі – координаттар жүйесі. Ол жазықтықтағы және кеңістіктегі нүктелерді сандармен – координаталармен, ал сызықтар мен беттерді теңдеулер көмегімен анықтауға, яғни геометриялық есептерді сызу жұмыстарынсыз-ақ алгебралық әдістермен шешуге мүмкіндік береді.

Сіздер мектеп курсынан қарапайым координаталар жүйелерімен таныссыздар (түзу бойындағы нүктелердің координаталары және жазықтықтағы нүктелердің координаталары ұғымдарымен).

Біз бұған дейін векторлық кеңістіктегі координаталарды қарастырған болатынбыз. Енді жазықтық пен кеңістікте нүктелердің координаталары ұғымын енгізелік.

Жазықтықтағы немесе кеңістіктегі нүктелер жиынын қарастыралық. Соған сәйкес немесе векторлық кеңістігінде базисі таңдап алынды деп есептелік. Осы кеңістіктердегі нүктелер жиынында координаталар жүйесін төмендегідей етіп құрамыз:

1) О нүктесін таңдап аламыз да, оны координата басы етіп белгілейміз;

2) базистік векторларын басы О нүктесі болатындай етіп көшіреміз;

3) әрбір базистік вектордың бағытымен координата басы арқылы координаталық осьтер деп аталатын түзулер жүргіземіз. Оларды: -мен бағыттасын – Ох , -мен бағыттасын – Оу , -пен бағыттасын – Оz деп белгілейміз.

Құрылған координаталар жүйесін қисықбұрышты декарттық координаталар жүйесі деп атайды. Көп жағдайда бұл жүйенің жазықтықта Оху , кеңістікте Охуz белгілеулері қолданылады.

Нүктелердің декарттық координаталары ұғымын анықтайық. Ол үшін кеңістіктің кез-келген М нүктесін алайық, оны О нүктесімен қосайық. Басы координаталар жүйесінің бас нүктесінде, ұшы М нүктесінде болатын ОМ векторын алдық, оны М нүктесінің радиус-векторы деп атайды.

АНЫҚТАМА. координаталар жүйесіндегі М нүктесінің декарттық координаталары деп ОМ векторының базисіндегі координаталарын айтады.

М нүктесінің жазықтықтағы координаталары М(х,у) деп, ал кеңістіктегі координаталары М(х,у,z) деп белгіленеді.

Ескеру. Нүктенің координаталары – М(х,у,z) мен вектордың координаталары белгілеулерін шатастыруға болмайды.

Базистің бір маңызды дербес жағдайын қарастыралық.

АНЫҚТАМА. ортонормаланған базис деп аталады, егер және болса, яғни базистік векторлардың ұзындықтары 1-ге тең және өзара перпендикуляр болса.

Ортонормаланған базистің базистік векторларын деп белгілеу қабылданған.

декарттық жүйені тікбұрышты координаталар жүйесі деп атайды.

Сонымен, кеңістіктегі OXYZ тікбұрышты декарттық координаталар жүйесінің OX, OY, OZ координата осьтерінің бірлік векторлары: i, j, k кеңістіктің ортонормаланған базисін құрайды. Оларды OX, OY, OZ осьтерінің орттары деп атайды (3-сурет). ОМ радиус-векторының базисіндегі координатталары оның М ұшының (нүктесінің) координаттарындай болады.

Шынында да, егер болса, онда жоғарыда көрсеткеніміздей келесі теңдікті жаза аламыз:

Сонымен, координаталары болатын векторын немесе түрінде жазуға болады, мұндағы — координата осьтерінің сәйкесінше бірлік векторлары.