Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами

линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами

дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными

уравнением Бернулли

Решение:
Уравнение можно представить в виде где Следовательно, данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Тема 22: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
1. Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

Решение:
Разделим переменные в исходном уравнении: Проинтегрируем обе части уравнения: Тогда или

2. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

3. Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

Решение:
Разделим переменные в исходном уравнении: Проинтегрируем обе части уравнения: Тогда или где

4. Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

Решение:
Разделим переменные в исходном уравнении: Проинтегрируем обе части уравнения: Тогда или

5. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

Решение:
Разделим переменные в исходном уравнении:
Проинтегрируем обе части уравнения: Тогда откуда где

6. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

7. Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

Решение:
Разделим переменные в исходном уравнении:
Проинтегрируем обе части уравнения: Тогда

8. Дифференциальное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при значении , равном …

Решение:
Данное уравнение можно представить в виде:
Это уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при то есть при откуда

9.Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

Тема 23: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
1. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

Решение:
Уравнение перепишем в виде Введем замену Тогда уравнение примет вид или
Пусть Тогда и Подставив найденное значение в уравнение , получим и Окончательное решение имеет вид

2. Решение задачи Коши имеет вид …

- правильно

3. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

Решение:
Уравнение перепишем в виде Введем замену Тогда уравнение примет вид или
Пусть Тогда и Подставив найденное значение в уравнение получим и Окончательное решение имеет вид

4. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

Решение:
Уравнение перепишем в виде Введем замену Тогда уравнение примет вид или
Пусть Тогда и Подставив найденное значение в уравнение получим: и
Окончательное решение имеет вид

5. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

6. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

7. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

Решение:
Уравнение перепишем в виде Введем замену Тогда уравнение примет вид или
Пусть Тогда и Подставив найденное значение в уравнение получим и Окончательное решение имеет вид

8. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

Решение:
Уравнение перепишем в виде Введем замену Тогда уравнение примет вид или
Пусть Тогда и Подставив найденное значение в уравнение получим и Окончательное решение имеет вид

9. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

- правильно

Решение:
Введем замену и получим или
Пусть Тогда Подставим найденное значение в уравнение и получим Тогда и
Окончательное решение имеет вид

Тема 24: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
1. Общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будет выглядеть как …

- правильно

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде где функция – общее решение однородного уравнения а функция – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид
Поскольку правая часть исходного уравнения то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

2. Общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будет выглядеть как …

- правильно

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде где функция – общее решение однородного уравнения а функция – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид
Поскольку правая часть исходного уравнения то имеем уравнение со специальной правой частью.
Так как является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

3. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

- правильно

4. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

- правильно

5. Общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будет выглядеть как …

- правильно

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде где функция – общее решение однородного уравнения а функция – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид
Поскольку правая часть исходного уравнения то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .

6. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

- правильно

Решение:
Составим характеристическое уравнение и решим его: . Тогда общее решение исходного уравнения примет вид

7. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

- правильно

8. Общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будет выглядеть как …

- правильно

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде где функция – общее решение однородного уравнения а функция – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид
Поскольку правая часть исходного уравнения то имеем уравнение со специальной правой частью.
Так как является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

9. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

- правильно

Решение:
Составим характеристическое уравнение и решим его: Тогда общее решение исходного уравнения примет вид

Кейс 1 подзадача 1
1. При доходе потребителя, равном M = 5 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 30 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна
Функция спроса по доходу выражается зависимостью …

- правильно

Решение:
Проинтегрируем по t обе части дифференциального уравнения Тогда Так как то
Таким образом,

2. При доходе потребителя, равном M = 4 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 50 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна
Функция спроса по доходу выражается зависимостью …

- правильно

Решение:
Проинтегрируем по t обе части дифференциального уравнения Тогда Так как то
Таким образом,

3. При доходе потребителя, равном M = 3 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 35 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна

Функция спроса по доходу выражается зависимостью …

- правильно

Решение:
Проинтегрируем по t обе части дифференциального уравнения Тогда Так как то
Таким образом,

4. При доходе потребителя, равном M = 5 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 40 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна
Функция спроса по доходу выражается зависимостью …

- правильно

Решение:
Проинтегрируем по t обе части дифференциального уравнения Тогда Так как то
Таким образом,

5. При доходе потребителя, равном M = 6 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 45 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна

Функция спроса по доходу выражается зависимостью …

- правильно

Решение:
Проинтегрируем по t обе части дифференциального уравнения Тогда Так как то
Таким образом,

Кейс 1 подзадача 2
1. При доходе потребителя, равном M = 5 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 30 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна
Объем спроса при M = 11 равен …

Решение:
Вычислим

2. При доходе потребителя, равном M = 4 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 50 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна
Объем спроса при M = 9 равен …

Решение:
Вычислим

3. При доходе потребителя, равном M = 3 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 35 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна

Объем спроса при M = 10 равен …

Решение:
Вычислим

4. При доходе потребителя, равном M = 5 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 40 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна
Объем спроса при M = 11 равен …

Решение:
Вычислим

5. При доходе потребителя, равном M = 6 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 45 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна

Объем спроса при M = 5 равен …

Решение:
Вычислим

Кейс 1 подзадача 3
1. При доходе потребителя, равном M = 5 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 30 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна
Наибольшее значение объема потребления не превзойдет величины …

Решение:
Функция является возрастающей и то есть существует горизонтальная асимптота Следовательно, наибольшее значение объема потребления не превзойдет величин

2. При доходе потребителя, равном M = 4 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 50 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна
Наибольшее значение объема потребления не превзойдет величины …

Решение:
Функция является возрастающей и то есть существует горизонтальная асимптота Следовательно, наибольшее значение объема потребления не превзойдет величин

3. При доходе потребителя, равном M = 3 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 35 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна
Наибольшее значение объема потребления не превзойдет величины …

Решение:
Функция является возрастающей и то есть существует горизонтальная асимптота . Следовательно, наибольшее значение объема потребления не превзойдет величин

4. При доходе потребителя, равном M = 5 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 40 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна
Наибольшее значение объема потребления не превзойдет величины …

Решение:
Функция является возрастающей и то есть существует горизонтальная асимптота Следовательно, наибольшее значение объема потребления не превзойдет величин

5. При доходе потребителя, равном M = 6 у.е., потребление некоторого блага составляет X = 45 ед. Известно, что скорость изменения спроса по доходу равна
Наибольшее значение объема потребления не превзойдет величины …

Решение:
Функция является возрастающей и то есть существует горизонтальная асимптота Следовательно, наибольшее значение объема потребления не превзойдет величин

Кейс 2 подзадача 1
1. В процессе производства используются два вида ресурсов: капитал K и труд L. Функция выпуска имеет вид на аренду фондов (капитала) и оплату труда выделено 90 у.е., стоимость аренды единицы фондов равна 3 у.е., ставка заработной платы 5 у.е.
При решении задачи на максимизацию объема выпуска функция Лагранжа имеет вид …

- правильно

Решение:
Задача максимизации объема производства представляет собой задачу на условный экстремум, в которой при условии, что
Так как при решении задачи на условный экстремум вида

функция Лагранжа имеет вид

то в нашем случае можно использовать следующую функцию Лагранжа:

2. В процессе производства используются два вида ресурсов: капитал K и труд L. Функция выпуска имеет вид на аренду фондов (капитала) и оплату труда выделено 60 у.е., стоимость аренды единицы фондов равна 3 у.е., ставка заработной платы 4 у.е.

При решении задачи на максимизацию объема выпуска функция Лагранжа имеет вид …

- правильно

Решение:
Задача максимизации объема производства представляет собой задачу на условный экстремум, в которой при условии, что
Так как при решении задачи на условный экстремум вида

функция Лагранжа имеет вид

то в нашем случае можно использовать следующую функцию Лагранжа:

3. В процессе производства используются два вида ресурсов: капитал K и труд L. Функция выпуска имеет вид на аренду фондов (капитала) и оплату труда выделено 80 у.е., стоимость аренды единицы фондов равна 4 у.е., ставка заработной платы 5 у.е.

При решении задачи на максимизацию объема выпуска функция Лагранжа имеет вид …

- правильно

Решение:
Задача максимизации объема производства представляет собой задачу на условный экстремум, в которой при условии, что
Так как при решении задачи на условный экстремум вида

функция Лагранжа имеет вид

то в нашем случае можно использовать следующую функцию Лагранжа:

4. В процессе производства используются два вида ресурсов: капитал K и труд L. Функция выпуска имеет вид на аренду фондов (капитала) и оплату труда выделено 60 у.е., стоимость аренды единицы фондов равна 5 у.е., ставка заработной платы 3 у.е.

При решении задачи на максимизацию объема выпуска функция Лагранжа имеет вид …

- правильно

Решение:
Задача максимизации объема производства представляет собой задачу на условный экстремум, в которой при условии, что
Так как при решении задачи на условный экстремум вида

функция Лагранжа имеет вид

то в нашем случае можно использовать следующую функцию Лагранжа:

5. В процессе производства используются два вида ресурсов: капитал K и труд L. Функция выпуска имеет вид на аренду фондов (капитала) и оплату труда выделено 40 у.е., стоимость аренды единицы фондов равна 5 у.е., ставка заработной платы 4 у.е.

При решении задачи на максимизацию объема выпуска функция Лагранжа имеет вид …

- правильно

Решение:
Задача максимизации объема производства представляет собой задачу на условный экстремум, в которой при условии, что
Так как при решении задачи на условный экстремум вида

функция Лагранжа имеет вид

то в нашем случае можно использовать следующую функцию Лагранжа:

Кейс 2 подзадача 2
1. В процессе производства используются два вида ресурсов: капитал K и труд L. Функция выпуска имеет вид на аренду фондов (капитала) и оплату труда выделено 90 у.е., стоимость аренды единицы фондов равна 3 у.е., ставка заработной платы 5 у.е.
Наибольший объем выпуска достигается при значении K, равном …

Решение:
Вычислим частные производные первого порядка функции Лагранжа:



Приравняв их к нулю, получим систему уравнений:

Найдем решение этой системы Тогда, согласно экономическому смыслу этой задачи, наибольший объем выпуска достигается при значении K = 15.

2. В процессе производства используются два вида ресурсов: капитал K и труд L. Функция выпуска имеет вид на аренду фондов (капитала) и оплату труда выделено 60 у.е., стоимость аренды единицы фондов равна 3 у.е., ставка заработной платы 4 у.е.
Наибольший объем выпуска достигается при значении K, равном …

Решение:
Вычислим частные производные первого порядка функции Лагранжа:



Приравняв их к нулю, получим систему уравнений:

Найдем решение этой системы Тогда, согласно экономическому смыслу этой задачи, наибольший объем выпуска достигается при значении K = 10.

3. В процессе производства используются два вида ресурсов: капитал K и труд L. Функция выпуска имеет вид на аренду фондов (капитала) и оплату труда выделено 80 у.е., стоимость аренды единицы фондов равна 4 у.е., ставка заработной платы 5 у.е.
Наибольший объем выпуска достигается при значении L, равном …

Решение:
Вычислим частные производные первого порядка функции Лагранжа:



Приравняв их к нулю, получим систему уравнений:

Найдем решение этой системы Тогда, согласно экономическому смыслу этой задачи, наибольший объем выпуска достигается при значении L = 8.

4. В процессе производства используются два вида ресурсов: капитал K и труд L. Функция выпуска имеет вид на аренду фондов (капитала) и оплату труда выделено 60 у.е., стоимость аренды единицы фондов равна 5 у.е., ставка заработной платы 3 у.е.
Наибольший объем выпуска достигается при значении K, равном …

Решение:
Вычислим частные производные первого порядка функции Лагранжа:



Приравняв их к нулю, получим систему уравнений:

Найдем решение этой системы Тогда, согласно экономическому смыслу этой задачи, наибольший объем выпуска достигается при значении K = 6.