Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ,

где Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – действительные числа.

Частным случаем однородного уравнения второго порядка является: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – постоянные коэффициенты.

Теорема 1.Если Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – решение уравнения Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то и Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – произвольная постоянная, тоже будет решением этого уравнения.

Теорема 2. Если Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – решения уравнения Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то их сумма тоже является решением этого уравнения.

Два решения Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru называются линейно независимыми на множестве Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , если их отношение не равно постоянному числу. В противоположном случае решения Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru называются линейно зависимыми.

Теорема 3. Если Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – независимые решения уравнения Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru есть общее решение уравнения.

Теорема 4. Если решения уравнения Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru линейно зависимые, то решение Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru не будет общим решением уравнения.

Решение Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru является частным решением уравнения, потому что оно зависит от одной произвольной постоянной Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Таким образом, из теоремы 3можно сделать вывод: чтобы найти общее решение уравнения, нужно найти два его линейно независимых решения Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и тогда Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru будет общим решением этого уравнения.

Будем искать частное решение уравнения Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru в виде показательной функции Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Подставив в уравнение первую и вторую производные частного решения и учитывая, что Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , после упрощения получим уравнение: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Это уравнение относительно Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru называется характеристическим уравнением данного однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Чтобы получить характеристическое уравнение, достаточно производные Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и функцию Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru заменить на соответствующие степени величины Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , рассматривая при этом функцию Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru как производную нулевого порядка.

Решив характеристическое уравнение, найдем значения Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru :

Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Рассмотрим разные случаи решений характеристического уравнения, от которых зависит вид частного решения:

1. Если Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , корни уравнения действительные и разные: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

В этом случае Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ; Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – линейно независимые решения уравнения. Частные решения уравнения Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru линейно независимы, потому что их соотношение не является постоянной величиной.

Тогда в соответствии с теоремой 3 общее решение уравнения будет:

Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . (*)

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Решение.

Составим характеристическое уравнение: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Это уравнение имеет разные действительные корни: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Им соответствуют два частных решения: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Следовательно, общее решение имеет вид: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

2. Если Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то корни характеристического уравнения действительны и равны: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

В этом случае Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – частное решение уравнения. Второе частное решение найдем в виде Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Тогда в соответствии с теоремой 3 общее решение уравнения будет:

Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . (**)

Пример 2. Найти общее решение уравнения: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Его корни: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . То есть уравнение имеет один двукратный действительный корень.

Ему соответствуют два частных решения уравнения: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Общее решение уравнения имеет вид: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

3. Если Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то уравнение имеет комплексно-сопряженные корни: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ; Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

В этом случае частные решения уравнения имеют вид:

Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ; Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Тогда в соответствии с теоремой 3 общее решение уравнение будет:

Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . (***)

Пример 3. Найти общее решение уравнения: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Оно имеет комплексные корни: Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . То есть Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ; Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Этим корням соответствуют два частных решения:

Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Общее решение уравнения имеет вид:

Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Наши рекомендации