Виды опор и опорные реакции

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине механика

Специальности:

120301 «Землеустройство»

120302 «Земельный кадастр»

120303 «Городской кадастр»

280402 «Природообустройство»

Уфа 2010

УДК 539.3

ББК 30.121

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № 1 от 27 января

2010 г.)

Составитель: к.т.н., старший преподаватель Загиров И.И.

Рецензент: к.т.н., заведующий кафедрой ЭМТП и А Бакиев И.Т.

Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика», к.т.н., доцент Масалимов И.Х.

Оглавление

1 Внутренние силы. Метод сечений………………………...4

2 Растяжение и сжатие…………………………………………..6

3 Кручение …………………………………………………………......8

4 Изгиб…………………………………………………………………..10

4.1 Виды опор и опорные реакции ……………………………………...12

4.2 Эпюры внутренних усилий………………………………………….13

Библиографический список……………………………….24

Построение эпюр внутренних силовых факторов

Цель занятия: Определение внутренних силовых факто- ров при растяжении-сжатии, кручении и изгибе.

Задание: Изучить методику построения эпюр внутренних силовых факторов при простых формах деформаций.

Внутренние силы. Метод сечений

Под внутренними силами (или внутренними усилиями) в сопротивлении материалов понимают силы взаимодействия между отдельными элементами сооружения или между отдельными частицами элемента, возникающие под действием внешних сил.

Для определения внутренних сил, возникающих в теле под нагрузкой, в сопротивлении материалов пользуются методом сечений.

Сущность метода сечений заключается в том, что тело мысленно разрезается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен нее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие до разреза: оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил (рис.1.1).

Очевидно что, согласно третьему закону Ньютона внутренние силы, действующие в сечении оставшейся и отброшенной частей тела, равны по модулю, но противоположны по направлению.

В соответствии с принятым допущением о непрерывности материала тела можно утверждать, что внутренние силы, возникающие в теле представляют собой силы, равномерно или неравномерно распределенные по сечению.

Рисунок 1.1 К определению внутренних силовых факторов.

По законам механики все внутренние силы, распределенные по сечению, приводим к центру тяжести сечения бруса-точке О, в результате чего получаем главный вектор R. и главный момент М. Если главный вектор и главный момент спроектировать на ось стержня Z и главные центральные оси сечения Y и X, то на каждой стороне сечения получим шесть внутренних силовых факторов: три силы- N_z, О_у, О_х и три момента - М_z, М_у и М_х (рис.1.2).

Рисунок 1.2 Расчетная схема рассматриваемой части бруса.

Сила N_z - вызывает продольную деформацию стержня (растяжение или сжатие); силы О_y и О_х- сдвиг сторон сечения соответственно в направлении Y и X; момент М_z-вызывает кручение стержня; М_у и М_х - изгиб стержня в главных плоскостях (XZ и YZ). По этому для усилий и моментов в сечении приняты следующие названия:

N_z -продольная или осевая сила;

О_у и О_х поперечные силы;

М_z- крутящий момент;

М_у и М_х- изгибающие моменты.

Полученные внутренние силовые факторы определяются из уравнений статики, которых (в общем случае нагружения) может быть шесть:

å F_kx = 0; åF_ky =0; åF_kz = 0

åM_x = 0; åM_y = 0; åM_z = 0.

Таким образом, метод сечений позволяет найти все усилия и моменты в любом сечении стержня при действии любой нагрузки. Для этого необходимо сделать следующее:

1. Найти главные центральные оси поперечного сечения стержня.

2. Разделить мысленно стержень в том поперечном сечении, где нужно найти внутренние силы.

3. Отбрасывать одну из частей тела и действие отброшенной части на оставшуюся заменить внутренними силами.

4. Составить уравнения равновесия для оставшейся части и вычислить усилия N_z, О_х, О_у, М_х, М_у, и М_z.

Растяжение и сжатие

При растяжении и сжатии в сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор - продольная сила N_z, представляющая собой равнодействующую внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении бруса.

Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекции на его продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения т.е.

N= åF_iz

Пример 1. Для заданного бруса (рис.2.1) построить эпюру продольных сил.

Рисунок 2.1Расчетная схема бруса и эпюра продольных сил.

Решение 1. Решение следует начинать с определения реакции опоры. Для этого составляем уравнение равновесия статики:

åF_kx=0 -Н_А +ql + F + 2q·1,5l-F = 0 Н_А=4ql.

1. Определяем внутренние силы. Для этого воспользуемся соотношением:

N=å_Fix

При этом принимают следующее правило знаков:

Если внешняя нагрузка направлена в сторону рассматриваемого сечения (продольное сжатие, рис.2.2а), то эту нагрузку берут со знаком "-". В случае, если внешняя нагрузка направлена от сечения, то знак этой нагрузки принимают "+" (продольное растяжение, рис.2.2б)

Рисунок 2.2К определению продольных сил в сечении бруса.

Заданный брус состоит из трех грузовых участков. Границами участков нагружения являются места приложения внешних сил и изменения размеров поперечного сечения. В пределах каждого участка проведем сечение и рассмотрим равновесие той части, для которой легче составить уравнение равновесия.

Сечение 1-1 (слева). Составляем уравнение равновесия рассматриваемого сечения (рис.2.3)

åF_kx=0; -Н_А + qх₁+N₁=0.

Рисунок 2.3Сечение 1-1(слева).

Откуда N₁ = Н_А – qх₁ (уравнение прямой наклонной линии), где 0 £ x₁ £ l.

При x₁=0 N₁=H_A=4ql.

При x₁=l N₁=H_A-ql=4ql-ql=3ql.

Сечение 2-2 (слева). åF_kx=0; -Н_А +q1 + F+N₂=0; N₂=H_А -q1-F = 4q1-2q1 = 2q1.

Рисунок 2.4Сечение 2-2

Сечение 3-3 (справа) åF_kx= 0; -N₃ +2qx₃-F=0

N₃= - F + 2qx₃ (уравнение прямой наклонной линии), 0£х₃£1,5l.

Рисунок 2.5Сечение 3-3 (справа).

При х₃ = 0 N₃ = -ql.

При x₃=1,5l N₃=-F + 2q-1,5l = 2ql.

По результатам вычислений строим график изменения продольных сил по длине бруса. Такой график называют эпюрой внутренних сил. Для этого, проведя ось абсцисс параллельно оси бруса, отложим в произвольно выбранном масштабе найденные значения продольных сил по оси ординат; при этом положительные N откладываем вверх, а отрицательные - вниз от оси (рис.2.1).

Эпюру принято штриховать перпендикулярно оси бруса. Каждая линия штриховки (ордината графика) в выбранном масштабе выражает значение продольной силы в соответствующем (расположенном против него) поперечном сечении бруса.В местах приложения сосредоточенных сил на эпюре получаются скачкообразные изменения ординат - "скачки". Размер "скачка" равен приложенной в соответствующем месте бруса внешней сосредоточенной силе.

2 Кручение

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор- крутящий

Рисунок 3.1Копределению внутренних сил при кручении

момент M_k. Кручение возникает в валах, винтовых пружинах и других элементах конструкций. Кручение прямого бруса происходит при нагружении его внешними скручивающими моментами (парами сил), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются по внешним скручивающим моментам с помощью метода сечений.На основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения. При расчетах на прочность и жесткость знак крутящего момента не имеет физического смысла, но для удобства построения эпюры М_к примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в сторону отсеченной части бруса действующий на него внешний момент направлено против часовой стрелки (рис.3.1 а). В обратном случае знак крутящего момента принимается отрицательным.

Пример 1. Для вала приведенного на рис.3.2 построить эпюру крутящих моментов при следующих исходных данных: m₁= 2ml, m₂= 3ml, m₃=1,5ml.

Решение: Сечение 1-1 M_k1 = -m₁ = -2ml.

Сечение 2-2 М_k2 =-m₁ + m₂=-2ml+3ml=ml.

Сечение 3-3 M_k3=-m₁+т₂+m₃= -2ml + 3ml + 1,5ml= 2,5ml.

Рисунок 3.2 Расчетная схема бруса и эпюра крутящих моментов.

По результатам вычислений строим эпюру крутящих моментов М_к (рис.3.2). В сечении, в котором к брусу приложен внешний скручивающий сосредоточенный момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента.

Пример 2. Для бруса защемленное одним концом, при схеме нагружения приведенного на рис.3.3, построить эпюру крутящих моментов.

Решение. Для брусьев, имеющих один неподвижно закрепленный (заделанный) и один свободный конец, крутящие моменты в их поперечных сечениях удобно определять из рассмотрения равновесия части, расположенной со стороны свободного конца. Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента в заделке.

Сечение 1. M_k1 = -mx₁ 0 £x₁£ а

При x₁=0 M_k1=0

При x₁=a M_k1=-ma

Рисунок 3.3 Эпюра крутящих моментов.

Сечение 2-2. M_k2 = -ma + M = 0

Сечение 3-3. M_k3 =-ma + M+M +mx₃ 0 £x₃ £ a

При x₃=0 M_k3 = -ma+ ma+ma= ma

При x₃=a M_k3= ma+ma = 2ma

Эпюра крутящих моментов приведена на рис. 3.3

4 Изгиб

Изгиб представляет собой такую деформацию, при которой происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев.

Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. В случае, когда изгибающий момент в поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящий через одну из главных центральных осей инерции сечения и изогнутая ось бруса лежит в этой плоскости, то такой изгиб называют прямым. Случай, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении бруса не проходит не через одну из главных осей инерции сечения и изогнутая ось бруса не лежит в плоскости действия изгибающего момента, называется косым, изгибом. При действии на брус внешних нагрузок, расположенных в одной плоскости, проходящей через ось бруса, в каждом поперечном сечении бруса возникают следующие внутренние силовые факторы: а) продольная сила N, приложенная в центре тяжести сечения, действующая перпендикулярно к сечению; б) поперечная сила Q действующая в плоскости поперечного сечения, проходящая через его центр тяжести; в) изгибающий момент М_и, действующий в плоскости, перпендикулярной к поперечному сечению.

Поперечная сила Q положительна, если она стремится вращать отсеченную часть по часовой стрелке относительно любой точки С, расположенной на внутренней нормали к поперечному сечению (рис .4.1 а). Противоположное направление - отрицательное (рис.4.16).

Изгибающий момент М_и в поперечном сечении считается положительным, если силы расположенные слева и справа от сечения направлены вверх или изгибает ее выпуклостью вниз. (Рис.4.1 в). В случае, если силы расположенные слева и справа от сечения направлены вниз или изгибает ее выпуклостью вверх (рис.4.1 г), то изгибающий момент в поперечном сечении считается отрицательным.

Рисунок 4.1К определению внутренних сил при изгибе.

Поперечная сила Q в произвольном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось Y всех внешних сил, приложенных к мысленно отсеченной части балки:

Q = åF_iy

Изгибающий момент в произвольном сечении балки численно равен алгебраической сумме, моментов всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой отсеченной части балки, относительно той точки на продольной оси балки, через которую проходит рассматриваемое сечение,

Mu = åM(F_i)

Виды опор и опорные реакции

Неподвижность конструкции под действием внешних нагрузок обеспечивается благодаря наличию опор, соединяющих ее с основанием. В опорах возникают реакции, которые вместе с заданными нагрузками представляют уравновешенную систему внешних сил, действующих на конструкцию.

Рассмотрим различные типы опор плоских систем.

1. Защемление или заделка (рис.4.2а). Защемленный (или заделанный конец) бруса не может ни смещаться поступательно, ни поворачиваться. Следовательно, число степеней свободы бруса с защемленным концом равно нулю. В опоре могут возникать: вертикальная реакция (сила R-рис.4.2а), препятствующая вертикальному смещению конца бруса; горизонтальная реакция (сила Н), исключающая возможность его горизонтального смещения и реактивный момент М, препятствующий повороту.

2. Шарнирно- неподвижная опора ( рис.4.2б). В опоре возникает реактивная сила, проходящая через центр шарнира. Ее составляющими являются вертикальная сила R, препятствующая вертикальному смещению и горизонтальная сила Н, исключающая горизонтальное смещение закрепленного сечения бруса. Опора не препятствует повороту бруса относительно центра шарнира, и следовательно, имеет одну степень свободы.

Рисунок 4.2Виды опорных закреплений

3. Шарнирно- подвижная опора (рис.4.2в). Поперечное сечение бруса, проходящее через шарнирно подвижную опору, может смещаться параллельно опорной плоскости I-I и поворачиваться, но она не может смещаться перпендикулярно к опорной плоскости. В опоре возникает только одна реакция в виде силы R, перпендикулярной к опорной плоскости.

Эпюры внутренних усилий

При расчете на прочность необходимо знать закон изменения внутренних усилий в поперечных сечениях балки по ее длине от действия внешних сил.

Закон изменения изгибающих моментов, поперечных сил и продольных сил по длине балки называют соответственно эпюрами изгибающих моментов (эпюра М), поперечных сил (эпюра Q) и продольных сил (эпюра N).

Рассмотрим на конкретных примерах построение эпюр для балок, находящихся под действием системы сил, расположенных в одной плоскости

Пример 1. Построить эпюры Q и М для консольной балки, заделанный правым концом, изображенной на рис.4.3.

Рисунок 4.3Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Разделим балку на участки. Границами участков являются поперечные сечения балки, в которых к ней приложены сосредоточенные нагрузки (в том числе опорные реакции), или в которых начинается либо заканчивается распределенная нагрузка. Рассматриваемая балка имеет четыре участка I, II, III, и IV, показанных на рис. 4. 3. Рассмотрим участок 1.

Участок I. Сечение 1-1 (слева): (рис. 4.4, слева):

Поперечная сила равна сумме проекций всех сил расположенных слева от сечения Q₁ Y = -G = -qx₁,

где G-равнодействующая распределенных сил на участке, длиной х.

Рисунок 4.4 Сечение 1-1.

Изгибающий момент M₁ равен сумме моментов всех сил расположенных слева от сечения 1-1 относительно точки 1, где проходит рассматриваемое сечение:

M₁=åM=-G×x₁/2=-qx₁×x₁/2=-qx₁²; (уравнение кривой 2-го порядка), где 0£x₁£2l

При х₁=0 Q₁=0 M₁=0

При x₁=2l Q₁=-q×2l=-2ql;

M₁=-q/2×(2l)²=-2ql²

По полученным значениям M₁ и Q₁ на рис.4.3 построены эпюры Q и М для участка I балки.

Координаты эпюр, соответствующие положительным значениям внутренних усилий, откладываем вверх от осей этих эпюр, а отрицательным вниз (оси эпюр параллельны оси балки). При таком построении ординаты эпюр М получаются расположенными со стороны сжатых волокон балки.

Участок П. Сечение 2-2 (рис.4.5, слева)

Рисунок 4.5Сечение 2-2.

Q₂=åY=-G=-2ql; M₂=åM=-G(l+x₂)=-2ql(l+x₂) 0£x₂£ l

При х₂=0 Q₂=-2ql M₂= -2ql²

При х₂ =2м Q₂= -2ql M₂=-2ql(l+l)=-4ql²

По полученным значениям Q₂ и M₂ на рис.4.3 построены эпюры Q и М для участка II балки.

Участок III. Сечение 3-3 (рис. 4.6, слева)

Рисунок 4.6Сечение 3-3.

Q₃= åY=-2ql + F = -2ql+5ql=3ql; M₃=åM=-2ql(2l+x₃)+Fx₃; 0< х₃< l.

При х₃=0 Q₃=3ql ; M₃=-2ql×2l=-4ql².

При x₃=l Q₃=3ql M₃ = -2ql× (2l + l)+5qI×I= -ql².

По полученным значениям Q₃ и М₃ на рис.4.3 построены эпюры Q и М для участка III балки.

Участок I\/ Сечение 4.4 (рис. 4.7, слева):

Рисунок 4.7 Сечение 4-4.

Q₄ =

M₄ = где 0≤х₄≤ l

При х₄ = 0 Q₄ = 3ql, .

При х₄ = l Q₄ = 3ql, .

По полученным значениям Q₄ и М₄ на рис. 4.3 построены эпюры Q и М для участка I\/ балки.

После построения эпюры Q и М, при расчетах на прочность выбирают наиболее опасное сечение балки. Наиболее опасным считается сечение, в котором значения Q и М являются наибольшими. Опасными сечениями при расчете по σ_max являются сечения А или С, при расчете по σ_max любое сечение на участке СА и при расчете по главным напряжениям сечения С или А. В нашем случае таковым являются одновременно опорное сечение А и сечение С, где Q_оп=3ql и M_оп=4ql².

Пример 2 Построить эпюры Q и М для двух опорной балки изображенной на рис. 4.8.

Решение:

1) Определение опорных реакций.

Изобразим на рисунке реакции опор А и Д, направив их вверх, и составим уравнения равновесия:

åF_kx=0 H_A=0; åM_D=0;ql×0,5l+M-R_A×3l=0;

åM_A=0; M-ql×2,5l+R_D×3l=0 ; R_A=(0,5ql²+ql²)/3l=0,5ql.

R_D=(2,5ql²-ql²)/3l=0,5ql.

Проверяем правильность вычисления опорных реакций:

åF_ky=0 R_A-ql+R_D=0; 0,5ql-ql+0,5ql=0.

Реакции определены правильно.

Рисунок 4.8 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

2) Определение внутренних усилий.

Рассматриваемая балка, состоит из трех грузовых участков: участок АВ, участок ВС и участок СД. Для определения внутренних усилий в пределах каждого участка проводим сечения.

Участок АВ.

Сечение 1-1 . Рассмотрим равновесие левой части.

Q₁=R_A=0,5ql

M₁=R_Ax₁=0,5ql×x₁ (уравнение прямой наклонной линии), где 0£x₁£ l

При х₁=0 М₁=0.

При х₁=1 М₁=0,5ql².

Участок ВС.