Последовательность решения задачи. 1. Определяют опорные реакции балки.

1. Определяют опорные реакции балки.

2. Обозначают характерные сечения (точки) балки. Ими явля­ются концевые сечения балки, опоры, точки приложения сосре­доточенных сил и моментов, начало и конец распределенной на­грузки.

3. Строят эпюру поперечных сил Q_x. Для этого определяют значения поперечных сил в характерных точках. Напомним, что поперечная сила в сечении равна сумме проекций всех сил, рас­положенных только слева или только справа от рассматриваемо­го сечения, на ось, перпендикулярную оси элемента. Силу, рас­положенную слева от рассматриваемого сечения и направ­ленную вверх, считают положительной (со знаком «плюс»), а на­правленную вниз — отрицательной (со знаком «минус»). Для правой части балки — наоборот.

В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредото­ченных сил, в том числе в точках приложения опорных реакций, необходимо определить два значения поперечной силы: чуть ле­вее рассматриваемой точки и чуть правее её. Поперечные силы в этих сечениях обозначаются соответственно Q^леви Q^прав.

Найденные значения поперечных сил в характерных точках от­кладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значе­ния соединяются прямыми линиями по следующим правилам:

а) если к участку балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой линией, параллельной нулевой линии;

б) если на участке балки приложена распределенная нагруз­ка, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой, наклонной к нулевой линии. Она может пересекать или не пересекать нулевую линию.

Соединив все значения поперечных сил по указанным прави­лам, получим график изменения поперечных сил по длине бал­ки. Такой график называется эпюрой Q_x.

4. Строят эпюру изгибающих моментов М_х. Для этого опреде­ляют изгибающие моменты в характерных сечениях. Напомним, что изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен сум­ме моментов всех сил (распределенных, сосредоточенных, в том числе и опорных реакций, а также внешних сосредоточенных моментов), расположенных только слева или только справа от этого сечения. Если любое из перечисленных силовых воздейст­вий стремится повернуть левую часть балки по часовой стрелке, то оно считается положительным (со знаком «плюс»), если про­тив — отрицательным (со знаком «минус»), а для правой части наоборот.

В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредото­ченных моментов, необходимо определить два значения изги­бающего момента: чуть левее рассматриваемой точки и чуть пра­вее её. Изгибающие моменты в этих точках обозначаются соот­ветственно М^лев и М^прав. В точках приложения сил определяется одно значение изгибающего момента.

Полученные значения откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются в соответствии со следующими правилами:

а) если на участке балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком балки два соседних значения изгибающих момен­тов соединяются прямой линией;

б) если к участку балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения изгибающих моментов для двух соседних точек соединяются по параболе.

Парабола имеет выпуклость в сторону действия нагрузки (при действии нагрузки сверху парабола обращена выпуклостью вниз). При этом, если эпюра Q_x на рассматриваемом участке не пересе­кает нулевую линию, то эпюра М_х (она является параболой) мо­жет быть построена по двум точкам, так как все значения изги­бающих моментов в промежуточных точках находятся между зна­чениями в характерных сечениях. Если эпюра Q_x пересекает нуле­вую линию, то под этим сечением эпюра М_х будет иметь экстре­мальное (максимальное или минимальное) значение или вершину параболы. Положение этой точки находят по эпюре из подобия треугольников. Затем находят значение из­гибающего момента в этом сечении и строят эпюру М_х на участке с распределенной нагрузкой по трем точкам.

Соединив все значения изгибающих моментов по указанным правилам, получают график изменения изгибающих моментов по длине балки. Такой график называется эпюрой М_х.

Приведенный способ построения эпюр Q_x и М_х назовем спо­собом построения эпюр по характерным сечениям. Такой спо­соб является частным случаем более общего, хотя и более трудо­емкого способа, который называется способом построения эпюр по участкам. Порядок построения эпюр при этом способе сле­дующий. Балку разбивают на участки. Границами участков явля­ются характерные сечения. Для каждого участка записывается закон изменения усилий Q_x и М_х и определяются их величины при граничных значениях. По найденным величинам усилий строят соответствующие эпюры.

Существует несколько способов проверки правильности по­строения эпюр. Наиболее простой способ проверки заключается в том, что суммы моментов всех левых и всех правых сил, взятые отдельно, в любой точке балки должны быть равны между собой.

5. Подбирают сечение стальной балки в следующем порядке:

а) определяют требуемый момент сопротивления сечения балки:

где М_max — наибольший по абсолютному значению изгибающий момент, принимаемый по эпюре М_х;

[σ] — допускаемое нормальнее напряжение для материала балки;

б) по ГОСТам прил. I подбираем номер двутавровой стальной балки, которая должна иметь момент сопротивления W_x,наибо­лее близкий по значению к требуемому моменту сопротивления

6. Проверяют прочность принятой двутавровой балки по нормальным напряжениям. Такую проверку выполняют для сечения с наибольшим изгибающим моментом:

где W_x — момент сопротивления принятого сечения.

Если условие удовлетворено, прочность балки по нормальным сечениям считается обеспеченной, и наоборот.

7. Строят эпюру нормальных напряжений σ. Для этого вычерчивают крупно поперечное сечение балки и проводят на отдельном рисунке нулевую линию перпендикулярно нейтральной оси. Затем на уровне крайних точек сечения (верхней и нижней) от­кладывают найденные ранее значения σ_mах и σ_min и соединяют эти значения прямой линией. Полученный график называется эпюрой σ. Значения σ_mах и σ_min откладывают по разные стороны от нулевой линии.

Пример 6.Для балки на двух опорах, показанной на рис. 11, а, определить опорные реакции, проверить правильность определения реакций. Определить значения внутренних поперечных сил в характерных сечениях балки. Построить эпюру поперечных сил. Определить значения внутренних изгибающих моментов в характерных сечениях балки. Построить эпюру изгибающих моментов. Подобрать рациональное сечение двутавровой балки, если [σ] = 160 МПа. Проверить прочность выбранного сечения по нормальным и касательным напряжениям. Построить эпюру касательных напряжений.

Решение.

1. Определим опорные реакции балки. Составим урав­нения:

Из первого уравнения найдем V_B:

или –15·2 + 20·6·2 - V_B ·7 -25 = 0,

откуда кН.

Из второго уравнения найдем V_A:

или –15·9 – 20·6·5 + V_А ·7 – 25 = 0,

откуда кН.

Выполним проверку:

или 108,6 + 26,4 – 15 – 20 · 6 = 0,

откуда 135 – 135 = 0.

2. Обозначим характерные сечения балки С, D, А, Е, В, К.

3. Определим значения поперечных сил в характерных сечениях:

Q_C = –F = –15 кН;

Q_D = –F = –15 кН;

кН;

кН;

кН;

кН;

4. Строим эпюру Q_x.Соединим полученные значения прямыми линиями (рис. 11, б) и получим эпюру Q_x. Эпюра Q_x на участке АЕ пересекает нулевую линию. Определим положение точки, в которой эпюра Q_x пересекает нулевую линию. Рассмотрим подобие треугольников HRL и HNS (см. рис. 11, б), откуда HR/HN = HL/HS, или х₀/5 = = 73,6/100, откуда

м.

Это сечение считается также характерным для эпюры Q_x и М_х.

5. Определим изгибающие моменты в ха­рактерных точках:

кН м;

кН м;

кН м;

= –15 · 5,68 – 20 · 4,68 · 2,34 + 108,6 · 3,68 = 95,4 кН м;

М_В = М = 25 кН м (рассмотрена правая часть балки ВК);

М_К = М = 25 кН м.

6. Строим эпюру М_х на участках между характерными точка­ми:

а) на участке CD нагрузки нет, поэтому эпюра М_х — прямая линия, соединяющая значения М_С =0и М_D = –15 кН м;

б) на участке DA действует распределенная нагрузка, поэтому эпюра М_х — парабола. Так как эпюра Q_x на этом участке не пе­ресекает нулевую линию, то парабола не имеет экстремального значения, поэтому величины изгибающих моментов в сечениях D и А соединим кривой, значения которой находятся в интервале –15 кН м ... – 40 кН м;

в) на участке АЕ действует распределенная нагрузка, поэтому эпюра М_х — парабола. Так как эпюра Q_x на этом участке пересе­кает нулевую линию, то парабола имеет экстремальное значение (вершину), поэтому эпюру М_х строим по трем значениям:

М_А = – 40 кН м; М_х0= 95,4 кН м и М_Е = 78 кН м;

д) на участке ВК нет нагрузки, поэтому эпюра М_х — прямая ли­ния, соединяющая значения М_В = 25 кН м и М_К =25 кН м.

Эпюра М_х построена (рис. 11, в).

Рис. 11

В качестве проверки возьмем сумму моментов всех сил отно­сительно точки, расположенной на расстоянии х₀ от левой опо­ры, но рассмотрим правую часть балки:

M_х0= q(c – х₀)(с – х₀)/2 + V_B(с – х₀+ d)+ М =

=–20 · 1,32 · 0,66 + 26,4 · 3,32 + 25 = 95,3 кН.

Разница в значениях М_х при рассмотрении левых и правых сил возможна из-за округления величин опорных реакций и рас­стояния х₀.

7. Подберем сечение стальной двутавровой балки по наибольше­му изгибающему моменту

.

По табл. 1 прил. I принимаем двутавровую балку №30 с W_x =472 см³, что больше, чем W_x^тp =415 см³.

8. Проверим прочность принятого сечения:

.

Прочность сечения по нормальным напряжениям обеспечена.

Ответ: двутавровая балка № 30.

Задание для практического решения №4.Для балки на двух опорах, показанной на рис. 12, определить опорные реакции, проверить правильность определения реакций. Определить значения внутренних поперечных сил в характерных сечениях балки. Построить эпюру поперечных сил. Определить значения внутренних изгибающих моментов в характерных сечениях балки. Построить эпюру изгибающих моментов. Подобрать рациональное сечение двутавровой балки, если [σ] = 160 МПа. Проверить прочность выбранного сечения по нормальным.

Рис. 12

Рис. 12. Продолжение

Рис. 12. Продолжение

Рис. 12. Продолжение

Рис. 12. Окончание

Контрольные вопросы

1) При каких внутренних силовых факторах в поперечном сечении бруса возникает деформация, названная чистым изгибом? Поперечным изгибом?

2) Как определить в любом поперечном сечении бруса величину поперечной силы и величину изгибающего момента?

3) Сформулируйте правило знаков при определении поперечной силы и изгибающих моментов?

4) Что такое эпюры поперечных сил и изгибающих моментов? Как и для чего они строятся?

5) На каких допущениях основаны выводы расчетных формул при изгибе?

6) По какой формуле определяют нормальные напряжения в поперечном сечении балки при изгибе и как они меняются по высоте балки?

7) Что такое осевой момент сопротивления сечения? Какова его физическая сущность и единицы измерения?

8) Какие формы поперечного сечения являются рациональными для балок из пластичных материалов и для балок из хрупких материалов?

9) Какие виды расчета можно производить из условия прочности при изгибе?

10) Почему при изгибе балки в её продольном сечении возникают касательные напряжения?

11) В каких случаях необходимо производить проверку балки по касательным напряжениям?

Задача №5

Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения

Цель работы – научиться определять поперечные силы, изгибающие моменты и строить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов, производить проектные и проверочные расчеты балочных систем по условию прочности на изгиб.

Информационное обеспечение: