Список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Преподаватель __________ ______________

подпись, дата инициалы, фамилия

Студент ДС 11-12 _________ Кудрявцев.Н.В

номер группы номер зачетной книжки подпись, дата инициалы, фамилия

Красноярск 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание …………………………………………………………………………….2

1. Цель и задачи лабораторной работы…………………………………………3

2. Теория.……………………………………………………………………..……..3

3. Физическая постановка задачи……………………………………………….4

4. Нахождение частот собственных колебаний балки...........................................4

5. Задача на нахождение четырех собственных значения......…………………6

6. Нахождение собственных значений и собственные вектора матрицы………7

Вывод…………………………………………………………………….……….........11

Список использованных источников…………………………………….…………..11

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Цель: .

Задачи:

- научиться решать нелинейные алгебраические уравнения методами деления отрезка пополам и графическим;

- реализовать алгоритмы решения с помощью программы Excel;

- получить навыки отладки программы;

- оценить эффективность и область применения данных методов.

Теория.

А-квадратичная матрица.

Собственный вектор матрицы А-вектор, для которого справедливо уравнение:

Аȳ=λȳ, где λ-собственное значение матрицы.

Преобразуем Аȳ=λЕȳ, Аȳ-λЕȳ=0 , где Е-единичная матрица.

Или (А-λЕ)ȳ=0

СЛАУ называется однородной, если у нее правая часть равна нулю

Если det≠0, то у системы Ǝ! Тривиальное решение=0

Нетривиальное ȳ≠0, когда det(A-λE)=0

Матрица коэф(A-λE) называется характеристической матрицей заданной матрицы А.

список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru

Корни уравнения – собственные значения λ i(i=1,2…n)

Физическая постановка задачи

Найти частоты собственных колебаний балки.

Задача с 3-мя массами.

Силы инерции в виде усилий в упругих связях.

хк=-mk список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru yki ,где к=1,2,3.

список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru -квадрат i-ой частоты свободных колебаний балки

yki-неизвестные перемещения к-ой точки массы при i-ой частоте колебания.

Однородная система канонических уравнений.

список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru х список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru =0,

Где список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru = список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru , список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru - вариации перемещений (перемещение mk от единицы силы, приложенной по направлению двух масс mi)

список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru - неизвестное перемещение точечных mk при i-ой частоте свободных колебаний балки.

Решение задачи: λ3-а λ2 +βλ-γ=0, где

а=а11+ а22 + а33,

β=А112233-сумма алгебраических дополнений элементов а11, а22 , а33.

γ=detA

Алгоритм решения.

1. Формируем матрицу А

2. Ищем коэффициенты уравнения λ3-а λ2 +βλ-γ=0

3. Ищем графически корни

4. Находим частоты собственных колебаний

      вариации перемещений        
m1 m2 m3 0,4101 -0,48 -0,584        
1,8 2,4 -0,1728 1,7111 0,48        
      -0,28032 0,64 1,1953        
                   
Сформированная табл А   Поиск коэффициентов уравнения    
2,0505 -0,864 -1,4016   α=   7,9992   A11= 7,508496
-0,864 3,07998 1,152   β=A11+A22+A33= 16,99533   A22= 3,917828
-1,4016 1,152 2,86872   γ=   9,99422   A33= 5,569003
  Найдем частоты уравнения          
  ω=1/λ^(1/2 λ1=   ω1=  
      λ2=   ω2= 0,707107  
      λ3=   ω3= 0,447214  
λ f(λ)     список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru        
-9,99422              
0,1 -8,37368              
0,2 -6,90712              
0,3 -5,58855              
0,4 -4,41196              
0,5 -3,37136              
0,6 -2,46074              
0,7 -1,6741              
0,8 -1,00545              
0,9 -0,44878              
0,001907              
1,1 0,352608              
1,2 0,609324              
1,3 0,778057              
1,4 0,864806              
1,5 0,875571              
1,6 0,816351              
1,7 0,693148              
1,8 0,511961              
1,9 0,278789              
-0,00037              
2,1 -0,31951              
2,2 -0,67263              
2,3 -1,05374              
2,4 -1,45683              
2,5 -1,8759              
               
4,8 -2,12622              
4,9 -1,12891              
0,002415              
5,1 1,273756              
5,2 2,691113              
5,3 4,260485              
5,4 5,987874              
5,5 7,879279              
                   
                 

Задача на 4 собственные значения

λ4- а λ3+η λ2 –βλ+γ=0

а=а11+ а22 + а33 44,

η=В121314232434 (сумма миноров 2-го порядка)

Вkm=akk amm - akm amk

β=А112233-сумма алгебраических дополнений элементов а11, а22 , а33, а44.

γ=detA

  A    
2,5 5,5
2,5
40,5
5,5 40,5
a=
ŋ= 266,25
β= 90,25
γ= 6,0625


B12= 1,75 B13= B14= 33,75
B23= B24= B34= 87,75
A11= =
  40,5    
  40,5    
           
A22= 5,5 =
  40,5    
  5,5 40,5    
A33= 2,5 5,5 =
  2,5    
  5,5    
           
A44= 2,5 = 3,25
  2,5    
     
λ1= 0,091   λ3= 2,343
λ2= 0,293   λ4= 97,272


λ f(λ) λ f(λ1) λ f(λ2) λ f(λ3) λ список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru
f(λ4)
         
83,0625 6,0625 97,262 -9276,58 0,055 1,887528 0,284 -0,37797          
106,5625 0,05 2,203131 97,263 -8382,46 0,056 1,825908 0,285 -0,34091          
-487,438 0,1 -0,3999 97,264 -7488,29 0,057 1,764788 0,286 -0,30349          
-2238,94 0,15 -1,82137 97,265 -6594,06 0,058 1,704165 0,287 -0,26571          
-5663,94 0,2 -2,1359 97,266 -5699,78 0,059 1,64404 0,288 -0,22757          
-11254,4 0,25 -1,41797 97,267 -4805,45 0,06 1,584413 0,289 -0,18906          
-19478,4 0,3 0,2581 97,268 -3911,05 0,061 1,525282 0,29 -0,1502          
… -1093842 0,35 2,818131 97,269 -3016,6 0,088 0,114253 0,291 -0,11098          
-241621 2,25 37,45703 97,27 -2122,1 0,089 0,068782 0,292 -0,0714          
665842,6 2,3 18,2341 97,271 -1227,54 0,09 0,023791 0,293 -0,03146          
2,35 -2,94887 97,272 -332,924 0,091 -0,02072 0,294 0,008838          
2,4 -26,1599 97,273 561,7477 0,092 -0,06476 0,295 0,049492          
    2,45 -51,4669 97,274 1456,475 0,093 -0,10831 0,296 0,090503          
    2,5 -78,9375 97,275 2351,258 0,094 -0,1514 0,297 0,13187          
    2,55 -108,639 97,276 3246,097 0,095 -0,194 0,298 0,173592          
    2,6 -140,64 97,277 4140,991 0,096 -0,23613 0,299 0,215669          
    2,65 -175,006 97,278 5035,941 0,097 -0,27778 0,3 0,2581          
    2,7 -211,806 97,279 5930,947 0,098 -0,31896 0,301 0,300885          
    2,75 -251,105         0,302 0,344022          
    2,8 -292,972         0,303 0,387512          
    2,85 -337,472         0,304 0,431354          
    2,9 -384,672                      
    2,95 -434,638                      
    -487,438                      
                             
                             
                             
                             
        список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru     список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru              
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
        список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru           список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru        
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                     
                     
              список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru      
                     
                       
                     
                     
                   
                                                   
     

                   

Найти собственное значение и собственные векторы матрицы.

-1
-1 -9
-9
α
β -51
γ -259
       
A11 -61
A22 -5
A33

f(λ)=λ^3-αλ^2+βλ-λ=0

∆λ 0,1
   
    0,9 -1
-1 0,9 -9
-9 1,9
     
     
-1,111111111 5,5555556
-0,9
-1,8 0,38
     
список использованных источников. подпись, дата инициалы, фамилия - student2.ru
 
             
0,1 253,771                
0,2 248,288                
0,3 242,557                
0,4 236,584                
0,5 230,375                
0,6 223,936                
0,7 217,273                
0,8 210,392                
0,9 203,299                
               
1,1 188,501                
1,2 180,808                
1,3 172,927                
1,4 164,864                
1,5 156,625                
1,6 148,216                
1,7 139,643                
1,8 130,912                
1,9 122,029                
  λ₁ 3,1          
2,1 103,831                
2,2 94,528   ώ₁ 56,096          
2,3 85,097                
2,4 75,544                
2,5 65,875                
2,6 56,096                
2,7 46,213                
2,8 36,232                
2,9 26,159                
               
3,1 5,761                
3,2 -4,552                
3,3 -14,933                
3,4 -25,376                
3,5 -35,875                
3,6 -46,424                
3,7                  
3,8                  
     
                           

ВЫВОД

Научились находить собственные значения и вектора матрицы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие. М.: Высш. шк. – 1994. - 544 с.

Наши рекомендации