Найти дивергенцию векторного поля
22. . 23. ..
24. . 25. .
26. . 27. , где - радиус-вектор.
28. Найти дивергенцию поля градиента функции .
29. Найти , где , .
Циркуляция
Определение: Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного
произведения вектора на вектор dr, касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L
(1)
Другие формулы: (2) – для решения задач
30. Найти циркуляцию вектора в положительном направлении вдоль замкнутой кривой, образованной осями координат и первой четвертью астроиды .
31. Найти циркуляцию вектора в положительном направлении по замкнутой, составленной из верхней половины эллипса и отрезка оси .
32. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру , образованному пересечением поверхности с плоскостями координат.
33. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль периметра треугольника с вершинами .
34. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль контура , являющегося линией пересечения поверхности с координатными плоскостями.
Ротор
Определение:
Ротором векторного поля называется вектор вида
Ротор удобно находить с помощью символического вектора
Найти ротор векторного поля
35. . 36. .
37. 38. .
39. . 40. .
Основные вопросы по теме:
«Элементы теории поля»
1. Векторная функция скалярного аргумента
2. Скалярное поле. Линии и поверхности поля.
3. Производная по направлению Вывод формулы
4. Градиент и его свойства
5. Векторное поле. Виды векторных полей.
6. Векторные линии и их уравнения.
7. Поток вектора и его различные формы записи. Физический смысл потока.
8. Поток вектора через замкнутую поверхность.
9. Дивергенция и ее свойства.
10.Формула Остроградского в векторной форме. Физический смысл дивергенции
11.Циркуляция векторного поля и ее различные формы записи. Физический смысл циркуляции.
12. Потенциальные поля и их свойства.
13.Ротор и его свойства. Формула Стокса в векторной форме.
14. Векторные дифференциальные операции.
Тема № 3 Ряды
Литература:
1. Мальцева «Числовые ряды»
2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
Знакоположительные ряды
Определение.
1. Числовым рядом называется выражение вида:
, где ;
2. Ряд задан, если известен закон по которому можно вычислить любой член ряда.
3. Конечная сумма n – первых членов называется частичной суммой ряда.
4. Ряд называется сходящимся, если существует конечный ;
6. Необходимый признак сходимости ряда
если ряд сходится, то ; обратное утверждение неверно.
7. Если или не существует, то ряд называется расходящимся
8. Ряд все члены которого либо положительные, либо отрицательные называется знакопостоянным.
9. Признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами
Дано: , - знакоположительные ряды, где при всех
Если все члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда, то если сходится второй ряд, то сходится и первый | ||
Если все члены первого ряда не меньше соответствующих членов второго ряда, то если расходится второй ряд, то расходится и первый | ||
3 | Если существует, конечен и отличен от нуля., то оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся |
Эталонные ряды
Название | Формула | Поведение | |
Ряд геометрической прогрессии | |||
Гармонический ряд | |||
Обобщенный гармонический ряд |