Множество всех подмножеств данного множества. Универсальное множество

Любое непустое множество А имеет по крайней мере два подмножества: А и Æ, их называют несобственными подмножествами множества А.

Если А ¹ Æ, то всякий элемент множества А порождает его одноэлементное подмножество, т.е. если , то {а} .

Множество всех подмножеств множества А обозначают Р(А). Рассмотрим пример. Дано множество А = {1, 2, 3}, составим множество всех его подмножеств Р(А)={ Æ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}. Таким образом, данное трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.

Заметим, что пустое множество имеет одно подмножество: Æ.

Итак, Р(А) ≠ Æ, для любого множества А. Для каждого множества, состоящего из m элементов, можно образовать 2^m подмножеств (доказательство этого предложения будет приведено в § 4 главы III пособия).

Нередко бывает так, что в пределах одной задачи рассматривают подмножества одного и того же множества U. Такое множество U называют универсальным множеством.

Так, если А – множество студентов 1-го курса некоторого института, В – множество студенток того же института, С – множество студентов-спортсменов этого института, то в качестве универсального множества U можно взять множество всех студентов данного института, потому что тогда А U, В U, С U. На диаграммах Эйлера-Венна универсальное множество U часто изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами.

В школьном курсе математики универсальным числовым множеством является множество действительных чисел, в планиметрии – множество точек плоскости, в стереометрии – множество точек пространства. Заметим, что понятие универсального множества относительно. В самом деле, на различных этапах изучения математики в школе в качестве универсального выступают числовые множества:
N, Z, Q, R.

Пересечение множеств

Начнем с задачи. В 3-м классе 35 учеников, из них 20 занимаются в спортивных секциях, 18 – в различных кружках, причем каждый ученик занимается хотя бы одним видом внеклассной работы: спортивным или кружковым. Сколько учеников занимаются одновременно спортом и в кружках?

А В А В Рис. 2

Т.к. 20 + 18 = 38 и 38 > 35, то ясно, что круги А и В (здесь А и В соответственно множества учеников, занимающихся спортом и в кружках) должны налегать друг на друга, т.е. у них должна быть общая часть, которая не пуста.

Решим задачу с помощью диаграммы Эйлера-Венна (рис. 2).

Путем рассуждений устанавливаем, что число учеников, которые занимаются спортом и в кружках, равно 3. Заметим так же, что
(20 + 18) – 35 = 3.

В этой задаче нам встретилось понятие общей части двух множеств. В теории множеств эта общая часть называется пересечением множеств.

Определение. Пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В одновременно и обозначают А В, т.е.

А В = {х | х Î А и х Î В}.

Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение множеств А и В изображается заштрихованной областью (рис. 3).

А В

Рис. 3

Вообще, если множества А и В имеют элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются. В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто и пишут: А В = Æ. На диаграмме Эйлера-Венна такие множества изображаются при помощи двух кругов, не имеющих общих точек.

Понятие пересечения двух множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.

П р и м е р ы.

1) А = {а, в, с}. В = {в, с, d}, А В = {в, с}.

2) А = {а, в, с}, В = {в, с, d}, С = {к, l, в}, А В С = {в}.

3) Если А Í В Í С, то А В С = А.

Рассмотрим свойства операции пересечения множеств.

Для любых множеств А, В, С:

1°. А Æ = Æ;

2°. А А = А;

3°. А В = В А – коммутативность пересечения;

4°. А (В С) = (А В) С = А В С – ассоциативность пересечения;

5°. А В <=> А В = А;

6°. А U = А (U – универсальное множество).

Свойства 1°-4° вытекают из определения пересечения множеств.

Доказательство свойства 5°.

Если А В, тогда все элементы множества А являются элементами множеств В, а это означает (по определению) А В = А.

Докажем теперь А В = А => А В.

Возьмем любой элемент а А и проверим, что а В. Тем самым докажем А В (по определению отношения ).

Итак, пусть а Î А, тогда в силу А В = А получаем а Î А В, а это означает, по определению пересечения, что а Î В. Утверждение доказано.

Доказательство свойства 6° следует из свойства 5° и определения универсального множества U.

Объединение множеств

Определение. Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В.

В определении есть слова «принадлежащие хотя бы одному». Математики договорились заменять это словосочетание более кратким «А или В». Заметим, что союз «или» употребляется в неразделительном смысле в отличие от обыденной жизни.

Объединение обозначается A В, т.е.

A В = {х | х Î А или х Î В}.

Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называется также объединением.

На диаграмме Эйлера-Венна объединение множеств A и В изображается заштрихованной областью (рис. 4).

Понятие объединения двух множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.

Рис. 4

П р и м е р ы.

1) А = {1, 2, 3}, В = {2, 3, 4}, А В = {1, 2, 3, 4}.

2) А = {1, 2, 3}, В = {а, в, с, d}, А B = {1, 2, 3, а, в, с, d}.

3) А = {1, 2, 3}, В = {1, 2, 3, 4, 5}, А В = В = {1, 2, 3, 4, 5}.

4) A = {1, 2, 3}, В = {2, 3, 4}, С = { 3, 4, 5},

A В С = {1, 2, 3, 4, 5}.

Рассмотрим свойства операции объединения множеств. Для любых множеств А, В, С:

1°. А Æ = А;

2°. А А = А;

3°. A В = В A – коммутативность объединения;

4°. А (В С) = (А В) С = А В С – ассоциативность объединения;

5°. A Í В <=> A В = В – закон поглощения;

6°. A U = U.

Свойства 1°-3° вытекают из определения объединения множеств.

Доказательство свойства 4°.

Пусть х Î А (В С), т.е. х принадлежит хотя бы одному из множеств А или В С. Если х Î A, то х Î А В С, если
х Î В С, то х Î В или х Î С. В любом случае х Î А В С.

Аналогично доказывается обратное включение.

Доказательство свойства 5°.

A Í В =>A В = В очевидно. Пусть теперь А В = В, докажем А Í В.

Пусть х Î А, тогда х Î A В по определению объединения. Поскольку, А В = В, то х Î В. Значит, А Í В по определению включения.

Доказательство свойства 6° следует из свойства 5° и определения универсального множества U.

Все перечисленные выше свойства объединения можно проиллюстрировать на диаграмме Эйлера-Венна.

Замечание. Если над множествами производятся операции пересечения и объединения и в записи выражения отсутствуют скобки, то сначала выполняют операцию пересечения, а затем операцию объединения.