Возрастание и убывание функций. Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной
Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Если внутри некоторого промежутка 
, то функция возрастает. Если 
, то в этом промежутке функция убывает.
При практическом исследовании функции на возрастание и убывание находят точки, в которых производная равна нулю или не существует. Все эти точки вместе с возможными точками разрыва функции разбивают область существования функции на ряд промежутков, на каждом из которых вопрос о возрастании или убывании функции определяется знаком производной.
Определить промежутки монотонности функций:
Пример 1. 
.
Решение: Функция определена для всех значений 
. Производная 
при любом . Следовательно, функция возрастает на всей числовой оси.
Пример 2. 
.
Решение: Функция существует для всех 
. Производная 
. Если 
, то 
и для всех . Следовательно, функция убывает 
.
Пример 3. 
.
Решение: Функция определена для всех 
. В точке 
она терпит разрыв. Находим производную 
и приравниваем ее к нулю: 
. Это уравнение имеет два корня: 
. Учитывая точку разрыва , разбиваем числовую ось на промежутки и определяем знак производной на каждом из них.
+ - - +
.
Следовательно, функция возрастает на промежутках 
и убывает - 
.
Пример 4. 
.
Решение: Функция определена на всей числовой оси. Находим нули производной: 
и определяем промежутки и знаки функции в каждом из них: 
.
- - +
.
При переходе через корень 
производная не меняет знака. Если 
и 
, , и функция убывает. Если 
, производная , и функция возрастает.
Пример 5. 
.
Решение: Функция определена на всей числовой оси. Находим ее производную: 
Отсюда следует, что если 
, функция убывает, если 
, функция возрастает.
Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1. 
.
Ответ: 
- интервалы возрастания,
- интервалы убывания.
2. 
. Ответ: 
- интервалы возрастания,
- интервалы убывания.
3. 
.
Ответ: 
интервалы возрастания,
- интервалы убывания.
4. 
. Ответ: 
- интервал возрастания,
- интервал убывания.
5. 
. Ответ: 
- интервалы возрастания,
- интервалы убывания.
6. 
. Ответ: 
- интервал убывания.
7. 
. Ответ: 
- интервалы убывания.
8. 
. Ответ: 
- интервалы возрастания,
- интервалы убывания.
9. 
. Ответ: 
- интервалы возрастания,
- интервалы убывания.
10. 
. Ответ: 
- интервал возрастания,
- интервалы убывания.
11. Функция 
задана неявно: 
.
Ответ: 
- интервал возрастания, - интервал убывания.
12. Функция задана неявно: 
.
Ответ: 
- интервал возрастания, 
- интервал убывания.
13. Функция задана параметрически: 
.
Ответ: 
- интервал возрастания,
- интервал убывания.
Выяснить, при каких значениях параметра 
функция 
возрастает на всей числовой оси:
14. 
. Ответ: 
.
15. 
. Ответ: 
.
16. 
. Ответ: 
.
17. 
. Ответ: 
.
18. 
. Ответ: 
.
19. 
. Ответ: 
.