Схема Бернулли. Теорема Муавра-Лапласа, Пуассона
1. Найти вероятность поражения цели при залповой стрельбе отделением из 5 солдат, если вероятность попадания в цель каждым солдатом составляет 0,5.
2. Работают четыре магазина по продаже стиральных машин. Вероятность отказа покупателю в магазинах равна 0,1. Считая, что ассортимент товара в каждом магазине формируется независимо от других, определить вероятность того, что покупатель получит отказ в двух магазинах.
3. Вероятность обращения в банк клиента за возвращением депозита равна 0,3. Найти вероятность того, что из 100 клиентов, посетивших банк, ровно 30 потребуют возврата депозита.
Продолжение приложения 6
4. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара обуви, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено 4 пары.
5. Производится 100 независимых выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0,8. Какова вероятность, что будет не менее 90 попаданий?
6. Вероятность промаха при одном выстреле 0,1. Какова вероятность, что из 50 выстрелов будет не более пяти промахов?
7. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажут три замка.
8. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность, того, что в течение часа из строя выйдут два автомата?
9. Тираж календаря 50 тыс. экземпляров. Вероятность брака в одном календаре равна 0,0003. Найти вероятность содержания в тираже 10 бракованных календарей.
10. Вероятность того, что в каждом из четырех покупателей потребуется холодильник марки «А» равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется всем четырем покупателям.
Случайные величины
1. В коробке 20 одинаковых катушек ниток, из них – 4 катушки с белыми нитками. Наудачу вынимают 2 катушки. Найти закон распределения и числовые характеристики числа катушек с белыми нитками среди вынутых.
2. Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Найти закон распределения и числовые характеристики числа попаданий мяча в корзину.
3. Устройство состоит их трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента 0,1. Найти закон распределения и числовые характеристики числа отказавших элементов: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
4. Вероятность сбоя в работе АТС равна 0,1. Найти закон распределения и числовые характеристики числа сбоев, если в данный момент поступило 3 вызова.
5. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение представлены 3 баланса предприятия. Найти закон распределения и числовые характеристики числа положительных заключений на проверяемые балансы.
6. Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 выигрышных. Наудачу покупают 2 билета. Найти закон распределения и числовые характеристики числа выигрышных билетов среди купленных.
Продолжение приложения 6
7. Вероятность брака при изготовлении детали данного вида 2 %. Найти закон распределения и числовые характеристики числа бракованных деталей из трех наугад взятых.
8. Вероятность успеха при одном испытании равна 0,8. Найти закон распределения и числовые характеристики числа успехов в серии из трех независимых испытаний.
9. Считая равновероятным рождение мальчика и девочки, найти закон распределения и числовые характеристики числа мальчиков в семье, имеющей 3 детей.
10. В городе 3 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10 %. Найти закон распределения и числовые характеристики числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года.
Законы распределения
1. Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [1; 6]. Найти функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию.
2. Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 минут. Считая, что случайная величина Х – время ожидания автобуса – распределена равномерно, найти среднее время ожидания и среднее квадратичное отклонение случайной величины.
3. Паром для перевозки автомашин через залив подходит к причалу через каждые два часа. Считая, что время пребывания автомашин – случайная величина Х – распределено равномерно, определить среднее время ожидания автомашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.
4. Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратичное отклонение расхода равно 5 кг. Cчитая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятностью 0,98. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 у. е., и стандартным отклонением, равным − 6. Определить вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была: а) между 40 и 50 у. е. за акцию; б) более 60 у. е. за акцию.
5. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по Интернету. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением и неизвестным математическим ожиданием. В 90 % случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найти ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Продолжение приложения 6
6. Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполярья есть нормальная случайная величина с параметрами (0; 1). Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше чем 2,4?
7. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины − количества сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, − равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100 г. Определить среднее квадратическое отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.
8. Размер серийно изготавливаемой детали – нормальная случайная величина с параметрами = 40 мм (ГОСТ), = 0,04 мм. Какова вероятность, что размер детали лежит в пределах 39,94−40,06?
9. Размер серийно изготавливаемой детали – нормальная случайная величина с параметрами = 60 микрон (ГОСТ), = 1 микрон. Какова вероятность, что размер детали лежит в пределах 58−62 микрона?
3.7. Математическая статистика
Для выборки, заданной таблицей 3.1, где m i – частота попадания элементов в промежуток [x i; x i+1]:
1. Построить гистограмму относительных частот и выборочную функцию распределения.
2. Найти смещенные и несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия p = 0,9.
3. Проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины по критерию Пирсона при уровне значимости
Окончаниеприложения 6
Таблица 3.1
| Вариант | i | xi<X≤ xi+1 | mi | Вариант | i | xi<X≤ xi+1 | mi | ||
| 2−4 | 10−12 | ||||||||
| 4−6 | 12−14 | ||||||||
| 6−8 | 14−16 | ||||||||
| 8−10 | 16−18 | ||||||||
| 10−12 | 18−20 | ||||||||
| 3−7 | 2−5 | ||||||||
| 7−11 | 5−8 | ||||||||
| 11−15 | 8−5 | ||||||||
| 15−19 | 11−14 | ||||||||
| 19−23 | 14−17 | ||||||||
| 7−9 | 11−14 | ||||||||
| 9−11 | 14−17 | ||||||||
| 11−13 | 17−20 | ||||||||
| 13−15 | 20−23 | ||||||||
| 15−17 | 23−26 | ||||||||
| 4−8 | 4−6 | ||||||||
| 8−12 | 6−8 | ||||||||
| 12−16 | 8−10 | ||||||||
| 16−20 | 10−12 | ||||||||
| 20−24 | 12−14 | ||||||||
| 5−7 | 10−14 | ||||||||
| 7−9 | 14−18 | ||||||||
| 9−11 | 18−22 | ||||||||
| 11−13 | 22−26 | ||||||||
| 13−15 | 26−30 | ||||||||