Построение интегральной и дифференциальной функции

При наличии полной информации расчет показателей надежности можно проводить как аналитическим, так и графическим методом на основе дифференциальной или интегральной функции выбранного теоретического закона распределения (ЗНР или ЗРВ). К преимуществам графического метода расчета относится возможность наложения кривых этих функций соответственно на полигон и кривую накопленных опытных вероятностей и на этой основе визуального определения наиболее совпадающего с опытной информацией теоретического закона распределения (ЗНР или ЗРВ), которым и следует пользоваться при дальнейших расчетах показателей надежности.

Известно, что применительно к отказам дифференциальная и интегральная функции характеризуют количество потерявших работоспособность машин или их элементов, или, что практически одно и то же, необходимое количество ремонтных воздействий (устранение эксплуатационных отказов и проведение ремонтов). По дифференциальной функции удобно определять количество отказов и, соответственно, количество ремонтных воздействий в любом интервале наработок, а по интегральной функции - суммарное их количество от начала наблюдения за машинами до заданной наработке .

При наличии статистического ряда (в случае ЗНР) точки дифференциальной кривой определяют по уравнениям (13) и (14) и по табл. 3 приложения.

(13)

, (14)

где - средние значение показателя надежности в заданном интервале (или значение середины интервала статистического ряда).

Так, применительно к ресурсам двигателя СМД-14 ( = 4050 мото-ч, = 925 мото-ч), координатами точек дифференциальной кривой для первого интервала статистического ряда будут:

- абсцисса - значение показателя надежности в середине первого интервала 1750 мото-ч;

- ордината - значение дифференциальной функции в первом интервале (уравнения (13) и (14))

По табл. 3 приложения находим Тогда

Следовательно, в интервале наработок от 1500 до 2000 мото-ч выйдет из строя (ресурсный отказ) и потребует ремонта около 1% двигателя.

Аналогично для 2-й точки дифференциальной кривой: абсцисса ордината

или для 3% двигателей потребуется ремонт в этом интервале наработок и т.д. Результаты расчеты приведены в табл. 4.

Значения интегральной функции определяют по уравнениям (15) и (16) и данным таблицы 1 приложения.

(15)

(16)

Так, в том же расчете по ресурсам двигателя СМД-14 абсцисса 1-й точки интегральной кривой а ордината

По табл. 2 приложения Тогда Следовательно, в интервале наработка от 0 до 2000 мото-ч выйдет из строя около 1 % двигателей.

Аналогично для конца второго интервала статистического ряда координаты 2-й точки интегральной кривой будут: абсцисса ордината

или для 4 % двигателей потребуется ремонт к наработке 2500 мото-ч и т.д. по концам всех интервалов статистического ряда. Результаты расчета приведены в табл. 4.

Результаты расчета позволяют заключить, что дифференциальная функция в интервале статистического ряда равна разности интегральных функций в конце и начале этого же интервала:

(17)

где - значения показателей надежности соответственно в середине, в конце и начале интервала. При законе распределения Вейбулла интегральную функцию определяют по табл. 9 приложения. Вход в таблицу осуществляется по значению параметра , указанному в верхней строке таблицы, и по величине отношения

(18)

Определяем число вышедших из строя двигателей СМД-14 в интервале наработок от 0 до 2000 мото-ч в том случае, если для выравнивания опытной информации (табл. 3) используется ЗРВ. Для конца первого интервала статистического ряда:

По табл. 9 приложения, проведя интерполирование, найдем или для 1% двигателей потребуется ремонт в интервале наработок от 0 до 2000 мото-ч.

Аналогично при наработке, соответствующей концу второго интервала статистического ряда ( ), получим:

По таблице 9 приложения (от 0 до 2500 мото-ч) = 0,05, или для 5% двигателей потребуется ремонт в интервале наработок от 0 до 2500 мото-ч.

Пользуясь уравнениям (17), определим значение дифференциальной функции или для 4% двигателей потребуется ремонт в интервале наработок от 2000 до 2500 мото-ч.

Результаты расчета интегральных и дифференциальных функций распределения Вейбулла приведены в табл. 4.

По данным табл. 4 строятся кривые дифференциальной и интегральной функций ЗНР и ЗРВ и накладываются на полигон (рис. 1) и кривую накопленных опытных вероятностей (рис. 2).

Анализ данных таблицы 4 и графиков (рис. 1 и 2) позволяет сделать рекомендации, имеющие практическое значение:

1. Опытная информация отклоняется от теоретической функции и нуждается в выравнивании при помощи теоретического закона распределения.

2. В интервале значений коэффициента вариации от 0,3 до 0,5 функции ЗРВ незначительно отличаются одна от другой, поэтому визуально трудно выбрать закон распределения для выравнивания опытной информации. В таких случаях рекомендуется выбирать теоретический закон распределения по критерию согласия.

Таблица 4. Сводная таблица опытных и теоретических (ЗНР и ЗРВ) распределений доремонтных ресурсов двигателей

Интервал, тыс. мото-ч	Опытная вероятность	Дифференциальная функция		Интегральная функция
ЗНР	ЗРВ	ЗНР	ЗРВ
1,5-2,0 2,0-2,5 2,5-3,0 3,0-3,5 3,5-4,0 4,0-4,5 4,5-5,0 5,0-5,5 5,5-6,0	0,03 0,03 0,03 0,20 0,16 0,26 0,14 0,06 0,09	0,01 0,03 0,08 0,15 0,20 0,20 0,17 0,09 0,04	0,01 0,04 0,10 0,15 0,19 0,20 0,16 0,09 0,04	0,03 0,06 0,09 0,29 0,45 0,71 0,85 0,91 1,00	0,01 0,04 0,13 0,28 0,48 0,68 0,85 0,94 0,98	0,01 0,05 0,15 0,30 0,49 0,69 0,85 0,94 0,98

f(t)

3 1 2

0,30

0,20

0,10

t_см

4

0,00

2000 3000 4000 5000 мото-ч.

Рис. 1. Гистограмма (1), полигон (2), дифференциальные кривые закона нормального распределения (3) и закона распределения Вейбулла (4)

F(t)

ЗНР åRi

1,0

0,8

0,6

0,4

t_см

0,2

0,0

2000 3000 4000 5000 Н, мото-ч.

Рис. 2. Кривая накопленных опытных вероятностей ΣР_i и интегральная кривая закона нормального распределения (ЗНР)

F(t)

ЗРВ åRi

1,0

0,8

0,6

0,4

t_см

0,2

0,0

2000 3000 4000 5000 Н, мото-ч.

Рис. 3. Кривая накопленных опытных вероятностей ΣР_i и интегральная кривая закона распределения Вейбулла (ЗРВ)