Выборочный метод, построение интегральной и дифференциальной функций распределения.

Геолога в первую очередь интересуют приемы сбора и обработки информации, определения статистических характеристик изучаемых признаков.

Определение 1.1

Множество однородных объектов, подлежащих статистическому изучению, называется стати­стической совокупностью.

В качестве статистической совокупности, которую называют генеральной, могут выступать горные породы. Тогда элементами этой совокупности будут образцы горных по­род. Горные породы можно охарактеризовать различными свойствами (признаками). Среди которых могут быть: плотность пород, магнитная восприимчивость, сопротивление, содержание химических элементов и другие.

Изучить всю генеральную совокупность принципиально невозможно или практически нецелесообразно. (Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследо­вание физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла).

Поэтому прибегают к выборочному методу, суть которого состоит в том, что из генеральной совокупности отбирают сравнительно небольшую выборку объемом N образцов, изучают ее по интересующему исследователя признаку, а затем на основании ана­лиза выборки делают вывод обо всей генеральной совокупности.

Пример:

Дана выборка (объемом N =50) образцов горных пород, в каждом из которых определено содержание Аl₂О₃ в процентах.

Результаты измерений приведены в таблице:

15.1	18.7	14.3	16.1	12.8
14.7	19.1	15.5	13.5	15.1
16.7	11.2	13.4	12.4	14.7
17.2	13.6	12.7	13.7	17.3
15.2	12.2	16.2	14.9	15.6
14.1	20.6	14.9	13.2	14.2
16.4	18.3	17.4	12.3	16.9
17.8	12.8	21.8	14.8	17.7
9.1	14.6	13.8	10.8	13.1
12.1	15.7	15.4	14.7	15.6

Требуется построить эмпирические дифференциальную и интегральную функции распределения.

Решение поставленной задачи разобьем на этапы:

1) Определим интервал группирования.

Величину частичного интервала группирования можно приближенно оценить формулой Стирлинга.

Здесь

х_max - максимальное значение признака в выборке.

х_min - минимальное значение признака в выборке.

N - объем выборки.

В нашем случае х_max = 21.8 х_min = 9.1 N = 50, тогда:

Поскольку число интервалов выбирается произвольно, ориентируясь на полученное значение, примем в качестве интервала группирования ве­личину близкую, но более удобную, равную двум.

Таким образом: h » 2.

2) Разобьем весь интервал изменения измеренного признака на частичные интервалы длиной h = 2.

Для этого левая граница первого частичного интервала выбирается меньше минимального числа. То есть, например, 8.

Тогда интервалы группирования примут следующие значения:

(8..10)(10..12)(12..14)...(20..22).

Найдем середины интервалов по формуле

Где а_i - левая граница соответствующего интервала группирования;

b _i - правая граница соответствующего интервала группирования.

3) Вычислим частоту попадания измеряемой величины в каждый ин­тервал n _i.

Для этого определим, сколько образцов горных пород имеют значения изучаемого признака

от 8 до 10, таких 1;

от 10 до 12, таких 2;

от 12 до 14, таких 14 и так далее.

Сумма всех частот должна быть равна объему выборки согласно фор­муле (11.2).

В нашем случае

m- количество интервалов группирования,

Вычислим относительные частоты, плотность относительных час­тот и накопленные относительные частоты.

Результаты сведём в таблицу:

Интервал	x i	n i	w i	v i
8..10 10..12 12..14 14..16			0.02 0.04 0.28 0.36	0.01 0.02 0.14 0.18	0.02 0.06 0.34 0.70
16.. 18			0.20	0.10	0.90
18..20			0.06	0.03	0.96
20..22			0.04	0.02	1.0

Sn _i =50 Sw _i =1.0

4) На основании полученных результатов строим гистограммы.

Определение 1.2

Гистограммой, плотности относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы длиною h, а высотами - плотности от­носительных частот

v _i =w _i/h (1.1)

По гистограмме плотности относительных частот строят эмпирическую дифференциальную функцию распределения f_э(x), соеди­няя плавной линией середины верхних площадок прямоугольников.

Определение 1.3

Гистограммой накопленных относительных час­тот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых явля­ются частичные интервалы длиною h, а высоты равны значению накопленных относительных час­тот.

(1.2)

По гистограмме накопленных относительных частот строят эмпирическую интегральную функцию распределения F_э (x), соединяя

плавной линией правые верхние углы прямоугольников в соответствии с определением интегральной функции.

F_i

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

8 10 12 14 16 18 20 22 X

V_i

0.2

0.15

0.1

0.05

8 10 12 14 16 18 20 22 X

Вопросы к первой лабораторной работе.

1. В чём смысл работы?

2. В чём суть выборочного метода?

3. Написать формулы и дать определения, которые использовались в первой лабораторной работе?.

4.Почему при построении интегральной функции сглаживающую линию проводим через правые точки верхних площадок?

5. Чему равна площадь ограниченная дифференциальной функцией?

Лабораторная работа №2.