Теңдеулер жүйесін шешу. Кері матрица әдісі. Крамер формуласы.

п сызықтық-алгебралық теңдеулер жүйесі берілген:

x_j = b_i; (i = 1, 2, ...n). (4.1)

Жүйе коэффициенттерінің матрицасын және белгісіздер мен бос мүшелердің вектор-бағандарын құрастырамыз:

A = [a_ij ], x = [x_j ], b = [b_i].

Матрицалық жазба (4.1) келесі түрде болады:

Ax = b. (4.2)

Егер А матрицасы – ерекше емес (detA = D ¹ 0) болса, онда оның кері матрицасы А^-1 табылады. (4.2) теңдеуінің екі жағын сол жақтарынан кері матрицаға көбейтетін болсақ, онда мынаны аламыз:

А^-1А х = А^-1 b немесе х = А^-1 b. (4.3)

(4.3) формуласы есептің жауабын береді. (4.3) формуласы бойынша түбірді табу үшін матрицаны айналдыра және олардың көбейтіндісін орындай білуі қажет.

Кері матрицаны одақты А^~ (А^-1 = А^~/ D) матрицасы арқылы бейнелей отырып, (4.3) теңдеуін келесі түрге келтіреміз:

x = A^~ b,

немесе x_i= D _i / D,

мұнда D _i= A_ji b_j.

A_jI – А матрицасындағы a_ji элементінің алгебралық толықтауышы.

Қосымша D і детерминанттары D-дан і-інші бағананы бос мүшелі бағанамен ауыстыру арқылы алынады.

Осыдан Крамердің белгілі формулаларын аламыз:

x₁ = D₁ / D, x₂ = D₂ / D,... , x _n = D _n / D. (4.4)

Гаусс әдісі.(4.1) жүйесінің бірінші теңдеуіндегі х₁–ді өрнектеп, оны жүйенің қалған теңдеулеріне қоямыз. Нәтижесінде, х₁ айнымалысы жоқ n–1 теңдеуін аламыз. Алынған теңдеулердің алғашқысын да х₂-ге қатысты дәл солай өрнектейміз. Осы процесті қайталай отыра, соңында тек х _n айнымалысы бар жалғыз теңдеуге келеміз. Оны шешу барысында, х _n-ді табамыз. Бұл алынған нәтижені пайдалана отырып, х_n-1-дің мәнін аламыз және т.с.с. жалғастырамыз.

Шешім табу процесі коэффициенттің үшбұрышты матрицасынан тұратын САТ эквивалентті жүйесін құруға әкеп соғатынын көруге болады. Үшбұрышты жүйені табу процесі - тура жүріс, ал белгісіздер мәнін табу процесі – кері жүріс деп аталады.

Арифметикалық әрекеттерге қажетті N санының бағасы келесіні құрайды:

N ~ n ³ ( n > 7 болған кезде). Сонымен, n = 100 үшін N ~ 10⁶ әрекеттер қажет.

Жордан–Гаусс әдісі.Қарапайым түрлендіру (теңдеулер жүйесін санға көбейту, теңдеуді мүше бойынша қосу/алу) арқылы жүйені келесі түрде көруге болады, яғни әр теңдеу 1 коэффициенті бар тек бір ғана айнымалыға ие, ал қалған айнымалылар нөлдік коэффициентке ие ие екенін. Осындай түрлендіру нәтижесінде жүйе шешімі жеткілікті екені айқын.

Итерация әдісі.(4.2) теңдеуі түріндегі жүйесінің п САТ берілген. Жүйенің әр теңдеуін индексі жол нөміріне тең белгісіздерге қатысты шешеміз. Содан алатынымыз (матрицалық түрде)

x = b + ax, (4.7)

мұнда

b_i = b _i / a _{i i} ;a_{i j}= – a_{i j} / a _{i I} (i ¹ j жағдайда);

a _{i j}= 0 ( i = j жағдайда).

(4.7) жүйесін тізбекті жуықтау әдісі арқылы есептейміз. Нөлдік жуықтау ретінде x^(o) = b теңдеуін аламыз.

Табамыз:

x⁽¹⁾ = b + a (x ⁽⁰⁾ ) (бірінші жуықтау)

x⁽²⁾ = b + a (x ⁽¹⁾ ) (екінші жуықтау)

және т. с. с. Процесс жақсы жинақталады, егер a элементтері өлшемі бойынша аз болса.

Бақылау сұрақтары:

1. Теңдеулер жүйесін Крамер әдісі арқылы шешу неден тұрады?

2. Қандай матрицалар үшін кері матрица табылады?

3. Гаусс әдісінің мағынасы неде?

4. Жордан-Гаусс әдісінің Гаусс әдісінен басты ерекшелігі неде?

5. САТ жүйесінің шешімін табудағы итерациялық процесс үшін формуланы жазыңыз.