Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
Литература
Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1989. - Гл. 27, § 27.1 - 27.4.
Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1987. - Т.1. - гл. 7, § 49 - 61.
Контрольные вопросы для подготовки к занятию
1. Какое движение называется колебательным?
2. Какое колебательное движение называется периодическим?
3. Какие колебания называются свободными (или собственными)?
4. Какие колебания называются гармоническими и какими параметрами они характеризуются?
5. Запишите дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний и его решение в тригонометрическом виде.
6. По каким формулам определяется смещение, скорость, ускорение при механическом гармоническом колебании?
7. Каков физический смысл амплитуды, частоты, периода и фазы колебаний?
8. Как графически изображаются гармонические колебания?
9. Постройте векторную диаграмму при сложении гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, напишите уравнение результирующего колебания.
10. Напишите выражения, определяющие амплитуду и фазу результирующего колебания.
11. Приведите формулу полной энергии материальной точки, совершающей гармонические колебания.
12. Запишите дифференциальное уравнение затухающего колебания и его решение в тригонометрическом виде.
13. Что такое декремент затухания, логарифмической декремент затухания, время релаксации, добротность?
14. Какие колебания называются вынужденными?
15. Приведите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение в тригонометрическом виде. Поясните их.
16. Что такое резонанс? Чему равна при резонансе частота вынужденных колебаний? Амплитуда? Фаза?
Краткие теоретические сведения и основные формулы
Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.
Колебания называютсясвободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – периодические изменения во времени физической величины, происходящие по закону синуса или косинуса:
, (23.1)
где f – значение некоторой колеблющейся величины (смещение х, сила переменного тока i и т. д.) в момент времени t; А – максимальное значение колеблющейся величины, называемой амплитудой колебаний; - круговая (циклическая) частота, ; - начальная фаза колебаний в момент времени t = 0, рад; - фаза колебаний в момент времени t.
Наименьший промежуток времени Т, через который повторяются значения всех физических величин, характеризующих периодическое колебание, называется периодом:
. (23.2)
Период колебаний:
- пружинного маятника
,
где k – коэффициент упругости (жесткость) пружины; т – масса маятника;
- физического маятника
,
где - приведенная длина физического маятника, J – момент инерции маятника относительно оси;
- математического маятника
,
где l - длина маятника.
Число полных циклов колебаний, совершаемых за единицу времени, называется частотой колебаний:
. (23.3)
Единица частоты – герц (Гц); 1 Гц – частота периодического процесса, при котором за 1 с совершается один цикл колебаний.
. (23.4)
Скорость изменения периодической величины
. (23.5)
Ускорение
. (23.6)
Амплитуды скорости и ускорения соответственно:
; (23.7)
. (23.8)
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
. (23.9)
Корнями решения этого уравнения являются выражения (23.1).
Рассмотрим колебания пружинного маятника. Состояние равновесия будем рассматривать как исходное положение пружинного маятника, а все дальнейшие смещения его оценивать координатой х, отсчитываемой от положения равновесия рис.23.1. Предположим, что никакие внешние силы колебаниям маятника не предшествуют. В этом случае на маятник, смещенный из положения равновесия, действует восстанавливающая сила F = - k x. Согласно 2-му закону Ньютона
F = m a,
где - ускорение маятника.
Но F = - k x, следовательно или .
Обозначим , тогда дифференциальное уравнение гармонического колебания примет вид
, (23.10)
а смещение из положения равновесия выразится, например, уравнением
. (23.11)
Скорость и ускорение материальной точки выразятся уравнениями (23.12) и (23.13):
; (23.12)
. (23.13)
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, равна
. (23.14)
Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием квазиупругой силы, равна
. (23.15)
Сложив и , получим формулу полной энергии:
.
Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки 0, выбранной на оси х, под углом , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор , модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 23.2). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от -А до А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону
.
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания нужно сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:
;
,
воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды. Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 23.3).
Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания задаются соотношениями
; (23.16)
. (23.17)
Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:
. (23.18)
Если начальные фазы и складываемых колебаний одинаковы, то уравнение (23.18) примет вид
. (23.19)
Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны соответствующим амплитудам.
Если , то эллипс (23.19) вырождается в окружность.
Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системы. Свободные колебания реальных систем всегда затухают.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид
, (23.20)
где f – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс; b - коэффициент затухания; - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы.
Решение уравнения (23.20) в случае малых затуханий :
, (23.21)
где - амплитуда затухающих колебаний, а - начальная амплитуда.
Для пружинного маятника массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F = - k x, коэффициент затухания
,
где r – коэффициент сопротивления.
Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в е = 2,71 раз, называется временем релаксации.
Период затухающих колебаний
. (23.22)
Если и - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение
называется декрементом затухания, а его логарифм
логарифмическим декрементом затухания.
Добротность
где N - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.
Чтобы в реальном осцилляторе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора F (t), изменяющегося по гармоническому закону .
Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний
(23.23)
где - внешняя вынуждающая сила.
Решением этого уравнения является выражение
, (23.24)
где А – амплитуда вынужденных колебаний; j - разность фаз смещения и внешний вынуждающей силы.
(23.25)
. (23.26)
Формулы для резонансной амплитуды
(23.27)
и частоты
. (23.28)
Примеры решения задач
Задача 1.Уравнение гармонических колебаний материальной точки м. Определить амплитуду, период и начальную фазу. Построить векторную диаграмму.
Дано: Решение
м
А - ? Т - ? - ?
смещение колеблющейся точки от положения равновесия; А - амплитуда колебаний; - циклическая частота; - начальная фаза.
При сравнении находим А = 0,08 м; ; .
Период колебаний с.
Векторная диаграмма имеет вид (рис.23.4).
Ответ: А = 0,08 м; Т = 2 с; = 0,2 p.
Задача 2. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 10 см и периодом Т = 2 с. Написать уравнение смещения колеблющейся точки. Определить фазу колебаний для двух моментов времени: 1) когда смещение точки = 6 см; 2) когда скорость точки V = 10 .
Дано:
А = 10 см = 0,1 м
Т = 2 с
cм = 0,06 м
V = 10 = 0,1
х - ? - ? - ?
Используя условие задачи, получим
м. (1)
1) Зная смещение , запишем уравнение в виде , где - фаза колебаний в данный момент времени.
Тогда и (рад).
2) Скорость материальной точки
.
Используя условие задачи, получим
,
откуда
sin и рад.
Ответ: м; рад; рад.
Задача 3. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания, уравнение смещения которых имеет вид м. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.
Дано: Решение
т = 10 г = 0,01 кг
м
- ? W - ?
.
Ускорение максимально при , тогда , подставляя в формулу (1) получаем Н.
2) Сила, вызывающая колебания точки по закону Гука F = - k x, тогда максимальная сила , где А - амплитуда колебаний.
Дифференциальное уравнение гармонического колебания:
,
где , откуда .
Решение дифференциального уравнения: . Сравнивая с данным в задаче уравнением, находим c-1.
Тогда
Н.
Полная энергия колеблющейся точки равна сумме кинетической и потенциальной энергии и является постоянной величиной:
Дж.
Ответ: Н; Дж.
Задача 4. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения двух одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: см и см. Написать уравнение результирующего колебания. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд.
Дано: Решение
М
М
А - ?
Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду: м и м. Из сравнения уравнений находим для первого колебания: амплитуда = 0,01 м, начальная фаза рад = 300; для второго колебания: = 0,02 м, рад = 900. Частота колебаний одинакова, следовательно, и циклическая частота результирующего колебания тоже равна p . Для определения амплитуды результирующего колебания построим векторные диаграммы колебаний.
По теореме косинусов:
;
м.
Тангенс начальной фазы результирующего колебания определим из рис. 23.5.
;
= 2,88.
Откуда начальная фаза рад.
Уравнение смещения результирующего колебания
м.
Ответ: А = 0,026 м; рад.
Задача 5. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
. Найти коэффициент затухания, циклическую частоту, период, время релаксации, логарифмический декремент затухания.
Дано: Решение
Приведем данное уравнение к стандартному
b - ? w - ? Т - ? виду, и сравним с заданным уравнением
t - ? l - ?
и .
Из сравнения находим: b = 0,25 с-1; , = 4 .
Частота w затухающих колебаний
с-1 » 4 с-1; .
Период затухающих колебаний можно считать равным периоду собственных колебаний
с.
Логарифмический декремент затухания .
Время релаксации
с.
Ответ: b = 0,25 с-1; w = 3,99 с-1; Т = 1,57 с; t = 4 с; l = 0,4.
Задача 6. Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания l = 1,6, начальная фаза рад. Смещение колеблющейся точки в момент времени = 1 с равно = 4,5 см. Написать уравнение смещения в тригонометрическом виде.
Дано: Решение
Т = 4 с
l = 1,6
рад
t = 1 с
= 4,5 см = 0,045 м
x(t) - ?
Коэффициент затухания b находим через логарифмический декремент затухания l = b Т, откуда ; с-1.
Циклическая частота колебаний связана с периодом зависимостью ; .
Для нахождения максимальной амплитуды запишем уравнение смещения в момент времени , используя найденные значения величин. Получаем
откуда
м.
Ответ: уравнение смещения имеет вид м.
Задача 7. Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника длиной l = 1 м, если за 1 минуту амплитуда колебаний уменьшилась в два раза?
Дано: Решение
Логарифмический декремент затухания
l = 1 м , (1)
= 1 мин = 60 с
l - ?