Явление самоиндукции. Индуктивность. Взаимная индукция

В опытах Фарадея индукционный ток в катушке возникал вследствие изменения индукции внешнего магнитного поля. Американский физик Джозеф Генри в 1832 году впервые наблюдал возникновение индукционного тока при изменении тока, протекающего в самой катушке. Позднее это было названо явлением самоиндукции.

Самоиндукция – это явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока. Свойство контура обладать более или менее выраженным явлением самоиндукции характеризуется физической величиной, называемой коэффициентом самоиндукции или индуктивностью.

Рассмотрим произвольный замкнутый контур с током I и имеющий N витков. По закону Био‑Савара‑Лапласа индукция B пропорциональна силе тока. Поскольку, магитный поток равен , а потокосцепление ‑ , следовательно, .

Введя некоторый коэффициент пропорциональности L, запишем

. (3.61)

Коэффициент пропорциональности L между силой тока и потокосцеплением Y, называется индуктивностьюконтура.

За единицу индуктивности в СИ, принимается индуктивность такого контура, потокосцепление которого при токе в 1 А равно 1 Вб (Веберу). Эта единица называется генри.

Индуктивность зависит только от геометрических размеров контура и магнитных свойств среды, окружающей контур.

Найдем индуктивность длинного соленоида исходя из того, что магнитная индукция внутри соленоида:

,

тогда потокосцепление равно и, следовательно,

, (3.62)

где – магнитная проницаемость вещества внутри соленоида; – число витков соленоида; , , – площадь поперечного сечения, длина и объем соленоида; – число витков соленоида на единицу длины.

Подставим выражение (3.61) в уравнение закона ЭМИ (3.59), тогда для электродвижущей силы самоиндукции получим

, (3.63)

где – индуктивность контура; – сила тока в контуре.

Если индуктивность контура не изменяется со временем, то ЭДС самоиндукции

. (3.64)

Из этой формулы видно, что чем больше индуктивность контура, тем большая ЭДС самоиндукции возникает при изменении силы тока в контуре, т. е. тем больше препятствует контур изменению тока в нем. Поэтому можно считать, что индуктивность контура является мерой его инертности по отношению к изменению тока.

Отсюда следует, что для стабилизации тока нужно использовать проводники с большой индуктивностью (дроссели).

Примером явления самоиндукции являются экстратоки замыкания и размыкания. Согласно правилу Ленца индукционные токи, возникающие в контуре, направлены так, чтобы препятствовать изменению тока, текущего в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании происходит не мгновенно, а постепенно (рис. 3.30).

Можно показать, что зависимость тока от времени при размыкании в цепи, содержащей индуктивность, определяется по формуле:

.

Зависимость тока от времени при замыкании в цепи, содержащей индуктивность:

,

где – сила тока в начальный момент времени; – ЭДС; – сопротивление клнтура; – индуктивность цепи.

Рис. 3.30 Явление самоиндукции при выключении и включении тока

Еще одним частным случаем электромагнитной индукции является взаимная индукция. Взаимной индукцией называют возникновение индукционного тока в замкнутом контуре (катушке) при изменении силы тока в соседнем контуре (катушке). Контуры при этом неподвижны друг относительно друга, как например, катушки трансформатора.

Рассмотрим два контура (рис. 3.31). Пусть сила тока в первом контуре равна I₁, тогда Ф – поток магнитной индукции, создаваемый этим током, .

Рис. 3.31 Возникновение взаимной индукции

Пусть Y₂₁ – часть потока Ф, которая пронизывает контур 2, очевидно Y₂₁ будет пропорционален I₁

, (3.65)

где L₂₁ – взаимная индуктивность (коэффициент взаимной индуктивности) контуров.

Важным фактом является то, что L₂₁ зависит только от геометрической формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости среды, в которой они находятся.

При изменении I₁ будет меняться Y₂₁, а, следовательно, во втором контуре, будет индуцироваться ЭДС самоиндукции e₂.

. (3.66)

Если размеры и положение контуров остаются неизменными, то L₂₁=const, и

. (3.67)

Можно поступить и наоборот. Менять ток во втором контуре, тогда в первом будет индуцироваться ЭДС самоиндукции

, (3.68)

где L₁₂ – коэффициент взаимной индукции контура 1 и контура 2. Можно показать, что L₂₁=L₁₂.

Взаимная индуктивность двух контуров имеет такую же размерность и измеряется в тех же единицах, что и индуктивность.

На явлении взаимной индукции основан принцип действия трансформатора, представляющий собой две катушки, намотанных на общий сердечник (обычно, железный) (рис. 3.32).

Рис. 3.32 Трансформатор

Пусть по обмотке 1 течет переменный ток I₁. Он создает переменное магнитное поле с индукцией В_1.

, (3.69)

где l – длина сердечника.

Вторую катушку будет пронизывать поток

. (3.70)

Сравнивая формулы (3.70) и (3.65) получим для коэффициента взаимной индукции выражение

_.

Аналогичные рассуждения позволяют вычислить коэффициент взаимной индукции:

_,

совпадающий с L₂₁.

Следует заметить, что в данном случае нельзя утверждать, что L₁₂ = L₂₁. Действительно, множитель m, входящий в выражение для коэффициентов L₁₂и L₂₁, зависит от напряженности магнитного поля в сердечнике. Если N₁ ≠ N₂, то при пропускании одного и того же тока один раз по первой, а другой раз по второй обмотке, в сердечнике создаются поля разной напряженности H. Соответственно значения m в обоих случаях будут различными, поэтому при I₁ = I₂ численные значения L₁₂ и L₂₁ не совпадают.

Это обстоятельство определяет главное техническое применение трансформатора в качестве устройства для повышения или понижения напряжения. Изменение напряжения определяется коэффициентом трансформации. Это величина, равная отношению напряжений в первичной и вторичной обмотке трансформатора:

.

Первичной обмоткой называется та в которой создается переменный ток, получаемый от генератора; во вторичной обмотке переменный ток возникает только из-за явления взаимной индукции.

Энергия магнитного поля

Рассмотрим замкнутую цепь, состоящую из источника тока, соленоида и сопротивления (рис. 3.33). Замкнем соленоид Lна батарею, в нем установится ток I и в соленоиде возникнет магнитное поле. Переключим ключ в положение 2. Через сопротивление R потечет ток самоиндукции. Работа, совершенная этим током за время dt:

; ; .

Рис. 3.33

Работа, совершаемая за все время, в течение которого происходило убывание тока (и магнитного поля) будет равна:

.

Эта работа идет на увеличение внутренней энергии проводников, т. е. на их нагревание. Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое существовало в соленоиде. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа А. Таким образом проводник с индуктивностью L, по которому течет ток I, обладает энергией

, (3.71)

которая локализована в возбужденном током магнитном поле.

Теперь выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. Как известно, для бесконечного соленоида справедливы

; ; .

Подставив Lи I в формулу (3.71), для энергии W получим

.

Ранее было доказано, что магнитное поле бесконечного соленоида однородно и сосредоточено внутри соленоида. Разделив W на объем соленоида, получим объемную плотность энергии магнитного поля локализованного внутри объема неферромагнитной изотропной среды

.

Если магнитное поле неоднородно, плотность тока больше там, где больше H и . Энергию Wзаключенную в объеме V в случае неоднородного магнитного поля можно вычислить по формуле

.

Энергия магнитного поля двух контуров с токами

,

где – взаимная индуктивность.

Магнитное поле в веществе

Вещество, способное влиять на магнитное поле, называется магнетиком. Магнетик, находящийся в магнитном поле, намагничивается. В этом состоянии он создает добавочную индукцию поля , которая складывается с индукцией внешнего магнитного поля. В итоге индукция магнитного поля в этом веществе возрастает по сравнению с индукцией поля в вакууме:

. (3.72)

Необходимо заметить, что под понимается усредненное макроскопическое поле, так как истинное микроскопическое поле в магнетике весьма сильно изменяется от точки к точке.

Магнитные свойства вещества определяются круговыми молекулярными токами в этом веществе. Каждый такой ток подобен круговому макроскопическому току в витке и характеризуется собственным магнитным моментом. В обычном состоянии магнетика круговые молекулярные токи ориентированы хаотично, а под влиянием внешнего магнитного поля ориентируются определенным образом, что и приводит к намагничиванию.

Способность магнетика намагничиваться характеризуется вектором намагничения , численное значение, которого равно магнитному моменту единицы объема магнетика.

. (3.73)

Вектор напряженности магнитного поля связан в вакууме с вектором магнитной индукции следующим образом:

. (3.74)

В веществе за счет его намагничения вектор магнитной индукции отличается от вектора магнитной индукции в вакууме :

. (3.75)

Опыт показывает, что во многих магнетиках вектор намагничения пропорционален напряженности магнитного поля :

. (3.76)

Безразмерный коэффициент пропорциональности c называется магнитной восприимчивостью вещества и для разных веществ имеет различные значения. Магнитная восприимчивость вещества численно равна модулю вектора намагничения при единичном магнитном поле. Подставим (3.76) в (3.75) и получим

. (3.77)

С другой стороны, в системе СИ , где m ‑ относительная магнитная проницаемость среды. Поэтому

. (3.78)

В отличие от диэлектрической восприимчивости, которая всегда больше единицы и всегда положительна, магнитная восприимчивость c может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому m может быть как больше единицы, так и меньше единицы.

В зависимости от величины и знака магнитной восприимчивости все вещества (магнетики) подразделяются на три группы:

1. Диамагнетики. У них магнитная восприимчивость отрицательна (c<0) и мала по абсолютной величине . К таким веществам, например, относятся: висмут (Bi), фосфор (P), серебро (Ag), золото (Au), медь (Cu), сера (S), вода и многие другие органические соединения. У диамагнетиков вектор намагничения направлен в противоположную сторону по отношению к направлению вектора , поэтому магнитная восприимчивость c является отрицательной величиной.

2. Парамагнетики. Для них также характерно, что магнитная восприимчивость положительна (c>0) и невелика (значения лежат в пределах от 10^‑3 до 10^‑5). К парамагнетикам относятся щелочные и щелочноземельные металлы, большинство газов, и в том числе кислород, а также некоторые другие вещества.

3. Ферромагнетики. Ферромагнетики – это вещества, которые даже в отсутствии магнитного поля могут обладать самопроизвольной намагниченностью.

В отличие от диамагнетиков и парамагнетиков они обладают сильными магнитными свойствами, в них , что связанно с их внутренним строением.

У ферромагнетиков c положительна и имеет очень большую величину. Так, магнитная проницаемость ферромагнетиков может достигать очень больших величин, порядка десятков и сотен тысяч К ферромагнетикам относятся металлы группы железа (Fe, Co, Ni) и некоторые сплавы.

Удовлетврительное объяснение магнитных свойств различных магнетиков может быть дано только в рамках квантовой механики.