Принцип вложенных отрезков. Теорема Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательностях

Пусть задано множество М числовых отрезков D_n=[a_n;b_n] (nÎN).

Если для отрезков D_n множества М выполнено включение D₁ÉD₂É … É D_nÉ…, т.е. каждый следующий отрезок содержится в предыдущем, то их называют системой вложенных отрезков.

Система вложенных отрезков М будет последовательностью стягивающихся отрезков, если при любом, сколь угодно малом e>0, множество М содержит отрезок с длиной меньше e.

То, что при больших n предел длины n-го отрезка стремится к 0, записывают так: (b_n-a_n)=0.

Теорема (О вложенных отрезках). Для последовательности стягивающихся отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам системы.

gУстановим существование общей точки. Для системы М вложенных отрезков следует, что ("nÎN) ("mÎN) ® a_n£b_m. (1)

Для двух непустых множеств А={a_n | nÎN}, B={b_m | mÎN} выполняется условие (1), значит, по свойству непрерывности множества действительных чисел, существует точка с, принадлежащая всем отрезкам стягивающейся системы, т.е.:

($cÎR): ("nÎN)®a_n£c£b_n.

Для установления единственности найденной точки докажем методом от противного, что не существует двух различных точек, принадлежащих всем отрезкам системы М одновременно. Пусть два различных числа с¹d (с<d) одновременно принадлежат всем отрезкам системы М: (" nÎN) ®(a_n£c£b_n)Ù(a_n£d£b_n).

Из включения [c;d]Ì[a_n;b_n] (" nÎN) и условия d-c>0 имеем, что
b_n–a_n>d–c>0 (" nÎN). Последнее неравенство противоречит определению последовательности стягивающихся отрезков. Нельзя допускать наличия двух различных точек c<d, принадлежащих всем отрезкам системы М. Вывод: остается принять существование одной точки, принадлежащей всем отрезкам стягивающейся системы.n

Рассмотрим числовую последовательность {x_n}: x₁, x₂, …, x_n ... (2)

Если из последовательности (2) выписывать не все члены подряд, а с пропуском (сохраняя порядок следования), то получаем новую последовательность { }: , , …, , … (3)

Например, можно брать члены с чётными номерами или только с простыми номерами.

Последовательность (3) { }, составленная из членов последовательности (2) с соблюдением порядка следования исходной последовательности, называется подпоследовательностью последовательности (2). При этом:

– член последовательности (2) взятый первым,

k – порядковый номер члена последовательности (3),

n_k – номер этого члена в исходной последовательности (2).

В параграфе 1.4 доказано, что всякая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное утверждение неверно. Последовательность x_n=(-1)ⁿ – ограничена, но расходящаяся. Однако, всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность (например, для x_n=(-1)ⁿ таковой будет { }: 1,1,1…).

Теорема(Больцано-Вейерштрасс). Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к некоторому числу подпоследовательность.

gПо условию {x_n} – ограничена, поэтому

($a,bÎR):("nÎN)® x_nÎ[a; b]=D.

Разделим отрезок D пополам. При этом, хотя бы в одной половине, окажется бесконечно много членов последовательности (1) (если в обоих половинах, то условимся брать правую): D₁=[a₁;b₁]ÌD. Выберем один из элементов: ÎD₁.

Разделим D₁ пополам и снова обозначим через D₂ ту половинку, в которой содержится бесконечное число членов x_n. Выберем среди них : n₂>n₁.

Продолжим процесс этот далее. В результате получим последовательность вложенных отрезков D_k=[a_k;b_k] с длинами при k®¥, а также подпоследовательность { } точек нашей последовательности: ÎD_k (n₁<n₂<…).

Из теоремы о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая любому из отрезков D_k. Очевидно, что { }®с, т.е. с – предел выделенной подпоследовательности.n