Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре

Краткая теория.

Свободные колебания в последовательном колебательном контуре.

Последовательный колебательный контур (рис. 1) содержит конденсатор емкостью C и катушку индуктивностью L и сопротивлением R. Пусть в момент времени t = 0 на конденсаторе имеется заряд . При разрядке конденсатора через катушку возникнет ток и на основе второго закона Кирхгофа

(1)

Учитывая, что уравнение (1) может быть преобразовано к виду

,

(2)

где

, ,

(3)

(a - коэффициент затухания, w₀ – собственная частота контура).

Если , решение уравнения (2)может быть записано в виде:

,

(4)

где .

Таким образом, при зависимость заряда на конденсаторе от времени имеет характер затухающих колебаний, частота которых w, называемая частотой свободных колебаний, несколько меньше собственной частоты контура w₀. Постоянные q_m и j зависят от начальных условий. В рассматриваемом случае можно считать w»w₀ и j»0; тогда (4) принимает вид:

.

(5)

Закон изменения силы тока можно найти, дифференцируя (5) по времени с учетом, что . Тогда

.

(6)

Уравнение (6) дает следующее соотношение между амплитудами тока и напряжения:

,

где

(7)

волновое или характеристическое сопротивлением контура и является одной из его основных характеристик, так как активное сопротивление контура не влияет на соотношение между U_m и I_m; оно определяет лишь степень затухания колебаний, т.е. быстроту уменьшения амплитуд с течением времени.

Кроме коэффициента затухания a для характеристики затухающих колебаний пользуются логарифмическим декрементом затухания, который равен натуральному логарифму отношения амплитуд колебаний, взятых через период Т:

.

(8)

Важным параметром колебательного контура является добротность Q, характеризующая относительную убыль энергии в процессе колебаний:

.

(9)

Энергия теряемая в контуре за один период, согласно закону Джоуля – Ленца, равна , где I – эффективное значение переменного тока. Энергия, запасенная колебательной системой, равна максимальной энергии, накопленной конденсатором или катушкой индуктивности: . Подставляя в (9) выражения для W и W_Т, получим:

.

(10)

Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре.

Пусть контур подключен к источнику внешней гармонической ЭДС с амплитудой Е_m:

.

В соответствии с законом Кирхгофа получаем:

,

(11)

Решение уравнения (9) можно получить в виде:

.

(12)

Таким образом, при воздействии на контур периодической ЭДС колебательный процесс в нем вначале представляет собой суперпозицию свободных и вынужденных колебаний. Так как свободные колебания имеют затухающий характер, по истечении некоторого времени ими можно пренебречь и считать, что в контуре существуют лишь вынужденные колебания. Чем выше добротность контура, тем медленнее затухают свободные колебания.

Резонансом в последовательном контуре называется такое явление, при котором резко возрастает амплитуда вынужденных колебаний силы тока, реактивная составляющая входного сопротивления контура равна нулю и контур представляет для генератора чисто активную нагрузку. Резонанс в последовательном колебательном контуре называют резонансом напряжений.

Из этого вытекают следующие свойства резонанса в последовательном контуре:

1. При резонансе реактивное сопротивление , поэтому частота генератора

;

(13)

но , т.е. резонанс в последовательном контуре происходит при частоте генератора w_р равной собственной частоте контура w₀. Строго говоря, это не всегда правильно, так как при наличии в контуре сопротивления R собственная частота его w₀ отличается, хотя и весьма незначительно, от .

Рис. 2

Характер изменения реактивных сопротивлений катушки индуктивности X_L, емкости Х_С и контура в целом Х от частоты показан на рис. 2. Следует иметь в виду, что на частотах ниже резонансной сопротивление контура носит емкостной характер, а на частотах выше резонансной – индуктивный.

2. Равенство , при условии. что w_р = w₀= , дает

.

(14)

Таким образом, при резонансе индуктивное и емкостное сопротивления контура порознь равны его характеристическому сопротивлению.

Так как при резонансе Х = 0, то полное сопротивление контура:

Отсюда следует, что между амплитудными значениями ЭДС Е_m и тока I_mp существует зависимость:

.

(15)

3. При резонансе ток и ЭДС генератора совпадают по фазе.

4. По формулам (14) и (15) устанавливаем соотношения между резонансными амплитудами напряжений на индуктивности , емкости и ЭДС генератора :

, , ,

(16)

Из выражения (16) следует, что при резонансе в последовательном контуре амплитуды напряжения на индуктивности и емкости равны между собой и каждая из них превышает амплитуду ЭДС генератора в Q раз. Вследствие наличия активного сопротивления в контуре максимум значений , и достигается при несколько различных значениях частот. И чем выше добротность контура, тем ближе эти значения.

Определим зависимость тока в контуре от частоты в относительном масштабе:

.

(17)

В случае использования контура в качестве фильтрующего элемента имеет смысл анализировать поведение тока в нем при относительно небольших отклонениях частоты сигнала от резонансной. С учетом этого можно принять, что . Если отклонение частоты от резонансной (расстройку) обозначить через то (17) примет вид

.

(18)

Это соотношение является аналитическим описанием резонансной, или амплитудно-частотной, характеристики контура. Из него видно, что значительные токи в контуре возникают лишь при небольших , а следовательно, контур обладает фильтрующими (избирательными) свойствами. Избирательные свойства контура, т.е. способность ослаблять сигналы, частота которых отличается от резонансной, характеризуются полосой пропускания.

Полосой пропускания контура ΔF или ΔΩ (ΔΩ = 2π ΔF) называется область частот вблизи резонансной, на границах которой отношение токов (или напряжений) .

Из соотношения (18) можно получить связь между полосой пропускания, резонансной частотой и добротностью:

,

откуда легко найти, что

или .

(19)

Ряд нормированных амплитудно-частотных характеристик контуров, отличающихся только добротностью Q, показан на рис. 3.

Рис. 3

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называют зависимость фазового сдвига j тока в контуре относительно вызывающей его ЭДС от частоты. Для последовательного контура имеем

.

Выполнение работы.

Работа выполняется с использованием стенда, схема которого изображена на рис 4. Источником внешней ЭДС является генератор звуковой частоты. В контур последовательно включены резистор R переменного сопротивления, катушка индуктивности и конденсатор переменной емкости. Активное сопротивление контураопределяется суммой сопротивления катушки (ее активного сопротивления, измеренного на постоянном токе), резистора и выходного сопротивления генератора. Эффективное значение напряжения на конденсаторе измеряется вольтметром V.

Подключить вольтметр к конденсатору. Емкость конденсатора, сопротивление резистора, выходное напряжение генератора укажет преподаватель. Изменяя частоту f в диапазоне (2…20) кГц, измерить зависимость напряжения на конденсаторе U_C от частоты для двух значений сопротивления.

Подключить вольтметр к катушке индуктивности и измерить зависимость напряжения U_L от частоты для двух значений сопротивления.

Рис. 4.

Задание

1. Для двух сопротивлений контура рассчитайте Q, a, r, ΔF, ΔΩ, w_р и f_р (f_р=w_р/2p). Полное активное сопротивление контура равно сумме активного сопротивления катушки, выходного сопротивления генератора и сопротивления резистора. Значения выходного сопротивления генератора и сопротивления резистора, а также емкость конденсатора укажет преподаватель.

2. Снимите зависимости напряжения на конденсаторе U_С от частоты f для двух значений сопротивления вблизи резонансной частоты f_р. Полученные данные занесите в таблицы 1 и 2.

Таблица 1 и 2 (нарисовать две таблицы)

R= C= L=

f, кГц

UC, В

3. Снимите зависимости напряжения на катушке U_L от частоты f для двух значений сопротивления вблизи резонансной частоты f_р. Полученные данные занесите в таблицы 3 и 4.

Таблица 3 и 4 (нарисовать две таблицы)

R= C= L=

f, кГц

UC, В

4. По данным таблиц постройте резонансные кривые (см. рис. 5) , .

5. Из графиков определите экспериментальную резонансную частоту f_рэксп и полосу пропускания контура ΔF_эксп. Полученные результаты сравнить с рассчитанными значениями.

Рис. 5.